Matemáticas de Selectividad

Sabiendo que lím𝑥→1⁡(𝑥𝑥−1−𝑎ln⁡(𝑥)) es finito, calcula 𝑎 y el valor del límite.

Determina una función derivable 𝑓 :ℝ →ℝ sabiendo que 𝑓(1) = −1 y que 𝑓′(𝑥)={𝑥2−2𝑥,si 𝑥<0,𝑒𝑥−1,si 𝑥≥0.

Se sabe que el determinante de la matriz 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝𝑎11𝑎12𝑎13𝑎21𝑎22𝑎23𝑎31𝑎32𝑎33⎞⎟ ⎟ ⎟⎠ es -3. Calcula, indicando las propiedades que utilices, los siguientes determinantes.

1. det( −2𝐴) y det(𝐴−1).
2. ∣𝑎21𝑎22𝑎237𝑎117𝑎127𝑎132𝑎312𝑎322𝑎33∣y∣𝑎11𝑎21+2𝑎315𝑎31𝑎12𝑎22+2𝑎325𝑎32𝑎13𝑎23+2𝑎335𝑎33∣.

Considera los vectores ⃗𝑢 =(1, −1,3), ⃗𝑣 =(1,0, −1) y ⃗𝑤 =(𝜆,1,0).

1. Calcula los valores de 𝜆 que hacen que ⃗𝑢 y ⃗𝑤 sean ortogonales.
2. Calcula los valores de 𝜆 que hacen que ⃗𝑢, ⃗𝑣 y ⃗𝑤 sean linealmente independientes.
3. Para 𝜆 =1, escribe el vector ⃗𝑟 =(3,0,2) como combinación lineal de ⃗𝑢, ⃗𝑣 y ⃗𝑤.

Considera la función derivable 𝑓 :ℝ →ℝ definida por 𝑓(𝑥)=⎧{ {⎨{ {⎩𝑒𝑥−𝑒−𝑥2𝑥,si 𝑥<0,𝑎𝑥+𝑏,si 𝑥≥0.

1. Calcula 𝑎 y 𝑏.
2. Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de 𝑓 en el punto de abscisa 𝑥 = −1.

Considera el recinto limitado por las siguientes curvas: 𝑦=𝑥2,𝑦=2−𝑥2,𝑦=4.

1. Haz un esbozo del recinto y calcula los puntos de corte de las curvas.
2. Calcula el área del recinto.

Considera las matrices 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝102111230⎞⎟ ⎟ ⎟⎠y𝐵=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝20−33−1−3−1−2−1⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

1. Calcula 𝐴−1.
2. Halla la matriz 𝑋 que verifica que 𝐴𝑡𝑋 +𝐵 =𝐼.

Sea 𝑟 la recta dada por 𝑥+22=𝑦+1=𝑧−1−3 y sea 𝑠 la recta dada por {𝑥−𝑦−3=0,3𝑦−𝑧+6=0.

1. Estudia la posición relativa de 𝑟 y 𝑠.
2. Halla la ecuación general del plano que contiene a 𝑟 y es paralelo a 𝑠.