Matemáticas de Selectividad

De entre todos los triángulos rectángulos de área 8 cm², determina las dimensiones del que tiene la hipotenusa de menor longitud.

Calcula ∫𝑑𝑥2𝑥(𝑥+√𝑥). (Sugerencia: cambio de variable 𝑡 =√𝑥).

Sabiendo que el determinante de la matriz 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝𝑎𝑏𝑐𝑏𝑑𝑒𝑐𝑒𝑓⎞⎟ ⎟ ⎟⎠ es 3, halla los siguientes determinantes indicando, en cada caso, las propiedades que utilices.

1. det(𝐴3), det(𝐴−1) y det(𝐴 +𝐴𝑡).
2. det⎛⎜ ⎜ ⎜⎝𝑎𝑏𝑐𝑐𝑒𝑓2𝑏2𝑑2𝑒⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.
3. det⎛⎜ ⎜ ⎜⎝𝑎𝑏4𝑎−𝑐𝑏𝑑4𝑏−𝑒𝑐𝑒4𝑐−𝑓⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

Sea 𝑟 la recta definida por ⎧{ {⎨{ {⎩𝑥=1+𝜆,𝑦=1+𝜆,𝑧=𝜆 y 𝑠 la recta dada por 𝑥−1−2=𝑦1=𝑧−1−2.

1. Halla la ecuación de la recta que corta perpendicularmente a 𝑟 y a 𝑠.
2. Calcula la distancia entre 𝑟 y 𝑠.

Sea 𝑓 :ℝ →ℝ la función derivable definida por 𝑓(𝑥)={𝑎−𝑥,si 𝑥≤1,𝑏𝑥+ln⁡(𝑥),si 𝑥>1.

1. Calcula 𝑎 y 𝑏.
2. Para 𝑎 =3 y 𝑏 =2 calcula los extremos absolutos de 𝑓 en el intervalo [0,𝑒] (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

Sea 𝑓 :ℝ →ℝ la función definida por 𝑓(𝑥) =𝑒𝑥cos⁡(𝑥).

1. Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de 𝑓 en el punto de abscisa 𝑥 =0.
2. Calcula la primitiva de 𝑓 cuya gráfica pasa por el punto (0,0).

Considera el siguiente sistema de ecuaciones: ⎧{ {⎨{ {⎩𝑚𝑥−2𝑦+𝑧=1,𝑥−2𝑚𝑦+𝑧=−2,𝑥−2𝑦+𝑚𝑧=1.

1. Discute el sistema según los valores del parámetro 𝑚.
2. Si es posible, resuelve el sistema para 𝑚 = −2.

Considera el plano 𝜋 de ecuación 2𝑥 +𝑦 −𝑧 +2 =0, y la recta 𝑟 de ecuación 𝑥−5−2=𝑦=𝑧−6−3.

1. Determina la posición relativa de 𝜋 y 𝑟.
2. Halla la ecuación general del plano que contiene a 𝑟 y es perpendicular a 𝜋.
3. Halla las ecuaciones paramétricas del plano paralelo a 𝜋 que contiene a 𝑟.