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📋 Septiembre de 2019

Ejercicio A1

Dada la función 𝑓 :ℝ →ℝ definida por 𝑓(𝑥) =6 −16𝑥2, calcula las dimensiones del rectángulo de área máxima, de lados paralelos a los ejes, inscrito en el recinto comprendido entre la gráfica de 𝑓 y la recta 𝑦 =0.

Ejercicio A2

Determina la función 𝑓 :(0, +∞) →ℝ sabiendo que es derivable, que su función derivada cumple 𝑓′(𝑥)=ln⁡(𝑥)√𝑥 y que la gráfica de 𝑓 pasa por el punto (1,0).

Ejercicio A3

Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales ⎧{ {⎨{ {⎩𝑥+𝑦+2𝑧=0,(𝑚+2)𝑥+𝑦−𝑧=𝑚,3𝑥+(𝑚+2)𝑦+𝑧=𝑚.

  1. Discute el sistema según los valores de 𝑚.
  2. Resuelve el sistema, si es posible, para 𝑚 =0.

Ejercicio A4

Se consideran los vectores ⃗𝑢 =(1,2,3), ⃗𝑣 =(1, −2, −1) y ⃗𝑤 =(2,𝛼,𝛽), donde 𝛼 y 𝛽 son números reales.

  1. Determina los valores de 𝛼 y 𝛽 para los que ⃗𝑤 es ortogonal a los vectores ⃗𝑢 y ⃗𝑣.
  2. Determina los valores de 𝛼 y 𝛽 para los que ⃗𝑤 y ⃗𝑣 tienen la misma dirección.
  3. Para 𝛼 =8, determina el valor de 𝛽 para el que ⃗𝑤 es combinación lineal de ⃗𝑢 y ⃗𝑣.

Resolución
  1. Dos vectores son ortogonales si su producto escalar es cero. Por un lado, si ⃗𝑢 y ⃗𝑤 son ortogonales, ⃗𝑢⋅⃗𝑤=0⇔2+2𝛼+3𝛽. Por otro lado, si ⃗𝑣 y ⃗𝑤 son ortogonales, ⃗𝑣⋅⃗𝑤=0⇔2−2𝛼−𝛽=0. Por tanto, podemos plantear el sistema de ecuaciones {2𝛼+3𝛽=−2,2𝛼+𝛽=2. Si restamos las ecuaciones, obtenemos que 2𝛽=−4⇔𝛽=−2. Luego 2𝛼+𝛽=2𝛽=−2←←←←←←←→2𝛼−2=2⇔𝛼=2. Así que 𝛼 =2 y 𝛽 = −2.
  2. Dos vectores tienen la misma dirección si sus componentes son proporcionales. Si ⃗𝑣 y ⃗𝑤 tienen la misma dirección, 12=−2𝛼=−1𝛽. Por tanto, 𝛼 = −4 y 𝛽 = −2.
  3. Si 𝛼 =8, ⃗𝑤 =(2,8,𝛽). Un vector es combinación lineal de otros dos si el determinante formado por las componentes de los tres vectores es nulo. Si ⃗𝑤 es combinación lineal de ⃗𝑢 y ⃗𝑣, ∣1231−2−128𝛽∣=0⇔−4𝛽+40=0⇔𝛽=−10.

Ejercicio B1

Se sabe que la función 𝑓 :ℝ →ℝ, dada por ⎧{ {⎨{ {⎩sen⁡(𝑥)+𝑎𝑥+𝑏,si 𝑥≤0,ln⁡(𝑥+1)𝑥,si 𝑥>0 es derivable. Calcula 𝑎 y 𝑏.

Ejercicio B2

Sea la función 𝑓 :ℝ →ℝ dada por 𝑓(𝑥) =𝑥𝑒−𝑥2.

  1. Calcula los puntos de corte de la gráfica de 𝑓 con los ejes coordenados y los extremos relativos de 𝑓 (abscisas en los que se obtienen y valores que se alcanzan).
  2. Determina 𝑎 >0 de manera que sea 14 el área del recinto determinado por la gráfica de 𝑓 en el intervalo [0,𝑎] y el eje de abscisas.

Ejercicio B3

Calcula, en grados, los tres ángulos de un triángulo sabiendo que el menor de ellos es la mitad del ángulo mayor y que la suma del ángulo menor y el ángulo mayor es el doble del otro ángulo.

Resolución

Llamamos 𝑥 al ángulo menor del triángulo, 𝑦 al ángulo intermedio y 𝑧 al ángulo mayor.

En primer lugar, como el menor es la mitad del mayor, entonces 𝑥=𝑧2. Además, como la suma de los ángulos menor y mayor son el doble del intermedio, 𝑥+𝑧=2𝑦. Por último, la suma de los ángulos de un triángulo es de 180º, así que 𝑥+𝑦+𝑧=180. Por tanto, podemos plantear el sistema de ecuaciones lineales ⎧{ {⎨{ {⎩𝑥=𝑧2,𝑥+𝑧=2𝑦,𝑥+𝑦+𝑧=180⇒⎧{ {⎨{ {⎩2𝑥−𝑧=0,𝑥−2𝑦+𝑧=0,𝑥+𝑦+𝑧=180.

Resolvemos el sistema mediante el método de Gauss. ⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝20−101−210111180⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠𝐹2+𝐹1←←←←←←←←→𝐹3+𝐹1⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝20−103−200310180⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠𝐹2+2𝐹3←←←←←←←←←→⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝20−10900360310180⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠. El sistema resultante es ⎧{ {⎨{ {⎩2𝑥−𝑧=0,9𝑥=360,3𝑥+𝑦=180.

Por tanto, 9𝑥=360⇔𝑥=40,2𝑥−𝑧=0𝑥=40←←←←←←←→80−𝑧=0⇔𝑧=80,3𝑥+𝑦=180𝑥=40←←←←←←←→120+𝑦=180⇔𝑦=60. Así que los ángulos del triángulo son 40º, 60º y 80º, respectivamente.

Ejercicio B4

Considera las rectas 𝑟≡𝑥−21=𝑦−𝑘2=𝑧2y𝑠≡𝑥+1−1=𝑦−11=𝑧−31.

  1. Halla 𝑘 sabiendo que ambas rectas se cortan en un punto.
  2. Para 𝑘 =1, halla la ecuación general del plano que contiene a 𝑟 y es paralelo a 𝑠.

Resolución
  1. En primer lugar, pasamos las rectas a sus ecuaciones paramétricas. La recta 𝑟 tiene como vector director ⃗𝑑𝑟 =(1,2,2) y pasa por el punto 𝑃(2,𝑘,0), mientras que la recta 𝑠 tiene vector director ⃗𝑑𝑠 =( −1,1,1) y pasa por el punto 𝑄( −1,1,3). Así que 𝑟≡⎧{ {⎨{ {⎩𝑥=2+𝜆,𝑦=𝑘+2𝜆,𝑧=2𝜆y𝑠≡⎧{ {⎨{ {⎩𝑥=−1−𝜇,𝑦=1+𝜇,𝑧=3+𝜇. Como se cortan en un punto, ha de ocurrir que ⎧{ {⎨{ {⎩2+𝜆=−1−𝜇,𝑘+2𝜆=1+𝜇,2𝜆=3+𝜇. Para obtener los valores de 𝜆 y 𝜇, podemos plantear el sistema formado por la primera y la tercera ecuación. {2+𝜆=−1−𝜇,2𝜆=3+𝜇⇔{𝜆+𝜇=−3,2𝜆−𝜇=3. Resolvemos este sistema por reducción. Si sumamos las dos ecuaciones, obtenemos que 3𝜆=0⇔𝜆=0. Así que, sustituyendo, 𝜆+𝜇=−3𝜆=0←←←←←←→𝜇=−3. Para que exista el punto de intersección, tiene que verificarse la segunda ecuación original para estos valores de los parámetros. Por tanto, 𝑘+2𝜆=1+𝜇𝜆=0←←←←←←←→𝜇=−3𝑘=−2.
  2. Si 𝜋 contiene a 𝑟 y es paralelo a 𝑠, entonces su vector normal ⃗𝑛 es perpendicular a ⃗𝑑𝑟 y ⃗𝑑𝑠. Podemos hallarlo haciendo el producto vectorial de estos vectores. ⃗𝑛=⃗𝑑𝑟×⃗𝑑𝑠=∣ ∣ ∣ ∣⃗𝑖⃗𝑗⃗𝑘122−111∣ ∣ ∣ ∣=(0,−3,3)∥(0,1,−1). Como la recta 𝑟 está contenida en 𝜋, también lo están todos sus puntos. En particular, 𝑃(2,1,0) pertenece a 𝜋. Por tanto, 𝜋≡𝑦−1−𝑧=0⇔𝑦−𝑧−1=0.