Matemáticas de Selectividad

Una hoja de papel tiene que contener 18 cm² de texto. Los márgenes superior e inferior han de tener 2 cm cada uno y los laterales 1 cm. Calcula las dimensiones de la hoja para que el gasto de papel sea mínimo.

Sea 𝐼=∫51+√𝑒−𝑥𝑑𝑥.

1. Expresa 𝐼 haciendo el cambio de variable 𝑡2 =𝑒−𝑥.
2. Determina 𝐼.

1. Discute, según los valores del parámetro 𝜆, el siguiente sistema de ecuaciones. ⎧{ {⎨{ {⎩−𝑥+𝜆𝑦+𝑧=𝜆,𝜆𝑥+2𝑦+(𝜆+2)𝑧=4,𝑥+3𝑦+2𝑧=6−𝜆.
2. Resuelve el sistema anterior para 𝜆 =0.

Halla la ecuación del plano que es paralelo a la recta 𝑟 de ecuaciones {𝑥−2𝑦+11=0,2𝑦+𝑧−19=0 y contiene a la recta 𝑠 definida por ⎧{ {⎨{ {⎩𝑥=1−5𝜆,𝑦=−2+3𝜆,𝑧=2+2𝜆.

Considera la función 𝑓 :[0,4] →ℝ definida por: 𝑓(𝑥)={𝑥2+𝑎𝑥+𝑏,si 0≤𝑥≤2,𝑐𝑥,si 2<𝑥≤4.

1. Sabiendo que 𝑓 es derivable en todo el dominio y que verifica 𝑓(0) =𝑓(4), determina los valores de 𝑎, 𝑏 y 𝑐.
2. Para 𝑎 = −3, 𝑏 =4 y 𝑐 =1 halla los extremos absolutos de 𝑓 (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

Considera la función 𝑓 :ℝ →ℝ dada por 𝑓(𝑥) =𝑥2 +4.

1. Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de 𝑓 en el punto de abscisa 𝑥 =1.
2. Esboza el recinto limitado por la gráfica de 𝑓, el eje de ordenadas y la recta de ecuación 𝑦 =2𝑥 +3. Calcula su área.

Sean las matrices 𝐴=(10−11),𝐵=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1000−1−1012⎞⎟ ⎟ ⎟⎠y𝐶=(31201−2). Calcula la matriz 𝑋 que cumpla la ecuación 𝐴𝑋𝐵 =𝐶.

Considera los planos 𝜋1, 𝜋2 y 𝜋3 dados respectivamente por las ecuaciones 𝑥+𝑦=1,𝑎𝑦+𝑧=0y𝑥+(1+𝑎)𝑦+𝑎𝑧=𝑎+1.

1. ¿Cuánto ha de valer 𝑎 para que no tengan ningún punto en común?
2. Para 𝑎 =0, determina la posición relativa de los planos.