Matemáticas de Selectividad

Se desea construir una canaleta, para la recogida de agua, cuya sección es como la de la figura. La base y los costados deben medir 10 cm y se trata de darle la inclinación adecuada a los costados para obtener una sección de área máxima. Se pide:

1. Halla la altura de la canaleta en función de 𝑥.
2. Halla el área de la sección de la canaleta en función de 𝑥.
3. Encuentra el valor de 𝑥 que hace máximo dicho área.

Determina la función 𝑓 :(1, +∞) →ℝ sabiendo que 𝑓″(𝑥)=1(𝑥−1)2 y que la ecuación de la recta tangente a la gráfica de 𝑓 en el punto de abscisa 𝑥 =2 es 𝑦 =𝑥 +2.

Considera las matrices 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝111010001⎞⎟ ⎟ ⎟⎠,𝐵=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝01−1⎞⎟ ⎟ ⎟⎠y𝐶=(112).

1. Calcula 𝐴2018.
2. Determina, si existe, la matriz 𝑋 que verifica 𝐴(𝑋 +2𝐼) =𝐵𝐶, donde 𝐼 es la matriz identidad.

Considera las rectas 𝑟 y 𝑠 dadas por 𝑟≡{𝑥+𝑦=𝑧+4,𝑥+2𝑦=7y𝑠≡{𝑥−2=0,𝑦+3=0.

1. Estudia y determina la posición relativa de 𝑟 y 𝑠.
2. Determina la recta perpendicular común a 𝑟 y a 𝑠.

Sea 𝑓 la función definida por 𝑓(𝑥)=𝑒𝑥𝑥−1 para 𝑥 ≠1.

1. Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de 𝑓.
2. Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de 𝑓 y halla sus máximos y mínimos relativos (puntos en los que se obtienen y valores que alcanza la función).
3. Esboza la gráfica de 𝑓 indicando sus puntos de corte con los ejes coordenados.

Sea 𝑓 :ℝ →ℝ la función definida por 𝑓(𝑥) =𝑥cos⁡(𝑥2).

1. Calcula ∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥.
2. Encuentra la primitiva de 𝑓 cuya gráfica pasa por el punto (0,1).

Considera el siguiente sistema de ecuaciones ⎧{ {⎨{ {⎩𝑥+𝑦+𝑚𝑧=1,𝑥+𝑚𝑦+𝑧=1,𝑥+2𝑦+4𝑧=𝑚.

1. Discute el sistema en función del parámetro 𝑚.
2. Si es posible, resuelve el sistema para 𝑚 =1.

Considera los puntos 𝐴(2, −1, −2) y 𝐵( −1, −1,2), y la recta 𝑟 dada por 𝑥−1=𝑦−1−1=𝑧−12.

1. Determina los puntos del segmento 𝐴𝐵 que lo dividen en 3 segmentos de la misma longitud.
2. Determina un punto 𝐶 de 𝑟 de forma que el triángulo 𝐴𝐵𝐶 sea rectángulo en 𝐶.