Matemáticas de Selectividad

Calcula la función polinómica, de grado 3, de la que se sabe que tiene un extremo relativo en el punto (0,2) y que la tangente a su gráfica en el punto de abscisa 𝑥 =1 es la recta 𝑥 +𝑦 =3.

Calcula ∫3011+3√𝑥𝑑𝑥. (Sugerencia 𝑡 =3√𝑥).

Considera el sistema de ecuaciones lineales dado por 𝐴𝑋 =𝐵 siendo 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1−111𝑚𝑚𝑚13⎞⎟ ⎟ ⎟⎠,𝑋=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝𝑥𝑦𝑧⎞⎟ ⎟ ⎟⎠y𝐵=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝11𝑚⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

1. Discute el sistema según los valores de 𝑚.
2. Para 𝑚 =2, si es posible, resuelve el sistema dado.

Sea 𝜋 el plano determinado por los puntos 𝐴(1,0,0), 𝐵(0,1,0) y 𝐶(0,0,𝜆), siendo 𝜆 un número real, y sea 𝑟 la recta dada por 𝑟≡{𝑦−𝑧=3,−𝑥+2𝑦=3.

1. Halla la ecuación del plano que pasa por 𝐴 y contiene a 𝑟.
2. Estudia la posición relativa de 𝑟 y 𝜋 según los valores de 𝜆.

Considera la función definida por 𝑓(𝑥)=−𝑥+4𝑥2 para 𝑥 ≠0.

1. Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de 𝑓.
2. Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de 𝑓 y calcula sus extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).
3. Esboza la gráfica de 𝑓.

Calcula ∫10𝑥2+1(𝑥+1)2𝑑𝑥.

Considera las matrices 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝10𝑚−10𝑚−12−𝑚0−12−𝑚⎞⎟ ⎟ ⎟⎠y𝐵=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝−1011−1001−1⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

1. Determina los valores de 𝑚 para los que la matriz 𝐴 no tiene inversa.
2. Para 𝑚 =1, calcula, si existe, la matriz 𝑋 que verifica la igualdad 𝐴−1𝑋𝐴 +𝐼 =𝐵, siendo 𝐼 la matriz identidad.

Considera el punto 𝑃( −1,0,1), el vector ⃗𝑢 =(1,2,1) y el plano 𝜋 de ecuación 𝑦 =0.

1. Halla la ecuación de la recta que pasa por 𝑃, está contenida en 𝜋 y cuyo vector director es perpendicular a ⃗𝑢.
2. Determina la ecuación del plano que pasa por 𝑃, es perpendicular a 𝜋 y del que ⃗𝑢 es un vector director.