Matemáticas de Selectividad

Se sabe que la función 𝑓 :ℝ →ℝ dada por 𝑓(𝑥)=⎧{ {⎨{ {⎩3𝑥+2,si 𝑥<0,𝑥2+2𝑎cos⁡(𝑥),si 0≤𝑥<𝜋,𝑎𝑥2+𝑏,si 𝑥≥𝜋 es continua.

1. Determina 𝑎 y 𝑏.
2. Estudia la derivabilidad de 𝑓.

Considera la función dada por 𝑓(𝑥) =√3+|𝑥| para 𝑥 ∈[ −3,3].

1. Expresa la función 𝑓 definida a trozos.
2. Halla ∫3−3𝑓(𝑥)𝑑𝑥.

Considera las matrices 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝−20011042−2⎞⎟ ⎟ ⎟⎠y𝐵=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝2120−15002⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

1. Calcula la matriz inversa de 𝐴 +𝐵.
2. Calcula el determinante de 2𝐴−1(𝐴 +𝐵)𝑡.

Considera los vectores ⃗𝑢 =(2,3,4), ⃗𝑣 =( −1, −1, −1) y ⃗𝑤 =( −1,𝜆, −5) siendo 𝜆 un número real.

1. Halla los valores de 𝜆 para los que el paralelepípedo determinado por ⃗𝑢, ⃗𝑣 y ⃗𝑤 tiene volumen 6 unidades cúbicas.
2. Determina el valor de 𝜆 para el que ⃗𝑢, ⃗𝑣 y ⃗𝑤 son linealmente dependientes.

Calcula lím𝑥→0⁡(1𝑥−cos⁡(𝑥)sen⁡(𝑥)).

Sea 𝑓 :ℝ →ℝ la función definida por 𝑓(𝑥) =𝑥arctg⁡(𝑥). Determina la primitiva de 𝑓 cuya gráfica pasa por el punto (0,𝜋).

Considera las matrices 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝122101⎞⎟ ⎟ ⎟⎠,𝐵=(3112−11)y𝐶=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝110−1211−11⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Determina, si existe, la matriz 𝑋 que verifica que 𝐴𝐵𝑋 −2𝐶 =𝐶𝑋.

Sea 𝑟 la recta que pasa por 𝐴(4,3,6) y 𝐵( −2,0,0) y sea 𝑠 la recta dada por ⎧{ {⎨{ {⎩𝑥=2+𝜆,𝑦=𝜆,𝑧=1−2𝜆.

1. Determina la posición relativa de 𝑟 y 𝑠.
2. Calcula, si existen, los puntos 𝐶 de 𝑠 tales que los vectores ⃗𝐶𝐴 y ⃗𝐶𝐵 son ortogonales.