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📋 Julio de 2021

Ejercicio 1

Calcula 𝑎 y 𝑏 sabiendo que lím𝑥0𝑎(1cos(𝑥))+𝑏sen(𝑥)2(𝑒𝑥1)𝑥2=7.

Resolución

Calculamos el límite. lím𝑥0𝑎(1cos(𝑥))+𝑏sen(𝑥)2(𝑒𝑥1)𝑥2=00.

Para resolver la indeterminación, aplicamos la regla de l'Hôpital. lím𝑥0𝑎(1cos(𝑥))+𝑏sen(𝑥)2(𝑒𝑥1)𝑥2LH=lím𝑥0𝑎sen(𝑥)+𝑏cos(𝑥)2𝑒𝑥2𝑥=𝑏20. Si 𝑏 2 este límite será infinito, así que necesariamente 𝑏 =2.

Continuamos resolviendo el límite para 𝑏 =2. lím𝑥0𝑎sen(𝑥)+2cos(𝑥)2𝑒𝑥2𝑥LH=lím𝑥0𝑎cos(𝑥)2sen(𝑥)2𝑒𝑥2=𝑎22.

Por tanto, lím𝑥0𝑎(1cos(𝑥))+𝑏sen(𝑥)2(𝑒𝑥1)𝑥2=7𝑎22=7𝑎=16.

Ejercicio 2

Halla 𝑎 >0 y 𝑏 >0 sabiendo que la gráfica de la función 𝑓 : dada por 𝑓(𝑥)=𝑏𝑥21+𝑎𝑥4 tiene en el punto (1,2) un punto crítico.

Resolución

Como (1,2) es un punto de la función, entonces 𝑓(1) =2. Así que 𝑓(1)=2𝑏1+𝑎=2𝑏=2+2𝑎. Por otro lado, como la función tiene un punto crítico en 𝑥 =1, entonces 𝑓(1) =0. Calculamos en primer lugar la derivada de 𝑓. 𝑓(𝑥)=2𝑏𝑥(1+𝑎𝑥4)4𝑎𝑏𝑥5(1+𝑎𝑥4)2. Luego 𝑓(1)=02𝑏(1+𝑎)4𝑎𝑏(1+𝑎)2=02𝑏(1+𝑎)4𝑎𝑏=02𝑏(1𝑎)=0{𝑏=0,𝑎=1. Como 𝑏 >0, la solución 𝑏 =0 no es válida, así que 𝑎 =1. Sustituyendo en la primera ecuación, 𝑏=2+2𝑎𝑎=1←←←←←←𝑏=4. Por tanto, 𝑎 =1 y 𝑏 =4.

Ejercicio 3

Considera la función 𝑓 : definida por 𝑓(𝑥)=1+𝑥0𝑡𝑒𝑡𝑑𝑡. Determina los intervalos de concavidad y de convexidad de 𝑓 y sus puntos de inflexión (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

Resolución

La función 𝑔(𝑥) =𝑥𝑒𝑥 es continua. Por el teorema fundamental del cálculo, la función 𝐺(𝑥)=𝑥0𝑔(𝑡)𝑑𝑡=𝑥0𝑡𝑒𝑡𝑑𝑡 es derivable, con 𝐺(𝑥) =𝑔(𝑥). De esta forma, podemos escribir 𝑓(𝑥)=1+𝑥0𝑡𝑒𝑡𝑑𝑡=1+𝐺(𝑥).

Para estudiar la curvatura de la función 𝑓 tenemos que hallar su segunda derivada. 𝑓(𝑥)=𝐺(𝑥)=𝑔(𝑥)=𝑥𝑒𝑥,𝑓(𝑥)=𝑔(𝑥)=𝑒𝑥+𝑥𝑒𝑥=𝑒𝑥(𝑥+1). Hallamos los candidatos a puntos de inflexión igualando la segunda derivada a cero. 𝑓(𝑥)=0𝑒𝑥(𝑥+1)=0𝑥+1=0𝑥=1. Así que el único candidato a punto de inflexión tiene abscisa 𝑥 = 1. Estudiamos el signo de 𝑓 para determinar si 𝑓 es cóncava o convexa.

  • Si 𝑥 < 1, 𝑓(𝑥) <0. Así que 𝑓 es cóncava en ( , 1).
  • Si 𝑥 > 1, 𝑓(𝑥) >0. Así que 𝑓 es convexa en ( 1, +).
Por tanto, 𝑓 tiene un punto de inflexión en 𝑥 = 1. Su imagen viene dada por 𝑓(1)=1+10𝑡𝑒𝑡𝑑𝑡=1+10𝑔(𝑡)𝑑𝑡.

En primer lugar, hallamos una primitiva de la función 𝑔. Resolvemos la integral por partes. 𝑢=𝑡𝑢=1,𝑣=𝑒𝑥𝑣=𝑒𝑥. Entonces: 𝑡𝑒𝑡𝑑𝑡=𝑡𝑒𝑡𝑒𝑡𝑑𝑡=𝑡𝑒𝑡𝑒𝑡=𝑒𝑡(𝑡1). Calculamos la integral definida. 10𝑡𝑒𝑡𝑑𝑡=[𝑒𝑡(𝑡1)]10=2𝑒1+1. Por tanto, 𝑓(1)=1+10𝑡𝑒𝑡𝑑𝑡=12𝑒1+1=22𝑒. Así que el punto de inflexión es (1,22𝑒).

Ejercicio 4

Considera la función 𝑓 definida por 𝑓(𝑥)=𝑥2+1𝑥21 (para 𝑥 1, 𝑥 1). Halla una primitiva de 𝑓 cuya gráfica pase por el punto (2,4).

Resolución

En primer lugar, hallamos todas las primitivas de 𝑓. 𝐹(𝑥)=𝑓(𝑥)𝑑𝑥=𝑥2+1𝑥21𝑑𝑥.

Para resolver esta integral, hacemos la división de polinomios del integrando. 𝑥2+1𝑥21=1+2𝑥21. Así que 𝐹(𝑥)=𝑥2+1𝑥21𝑑𝑥=1𝑑𝑥+2𝑥21𝑑𝑥=𝑥+2𝑥21𝑑𝑥.

Expresamos la función como suma de fracciones simples. 𝑥21=0𝑥=±1. Las raíces del denominador son -1 y 1, así que la función se puede escribir como 2𝑥21=𝐴𝑥1+𝐵𝑥+1=𝐴(𝑥+1)+𝐵(𝑥1)(𝑥1)(𝑥+1)=(𝐴+𝐵)𝑥+𝐴𝐵𝑥21. Igualando ambas expresiones, obtenemos que {𝐴+𝐵=0,𝐴𝐵=2. Resolvemos el sistema por reducción. Si sumamos las dos ecuaciones, obtenemos que 2𝐴=2𝐴=1. Por otro lado, si restamos las dos ecuaciones, obtenemos que 2𝐵=2𝐵=1. Por tanto, 2𝑥21=1𝑥11𝑥+1.

Resolvemos la integral. 𝐹(𝑥)=𝑥+2𝑥21𝑑𝑥=𝑥+1𝑥1𝑑𝑥1𝑥+1𝑑𝑥=𝑥+ln|𝑥1|ln|𝑥+1|+𝐶.

La primitiva que pasa por el punto (2,4) ha de verificar 𝐹(2) =4. Por tanto, 𝐹(2)=42ln(3)+𝐶=4𝐶=2+ln(3). Luego la primitiva es 𝐹(𝑥)=𝑥+ln|𝑥1|ln|𝑥+1|+2+ln(3).

Ejercicio 5

Considera la matriz 𝐴=⎜ ⎜ ⎜034145134⎟ ⎟ ⎟.

  1. Comprueba que 𝐴2 = 𝐴1.
  2. Dadas las matrices 𝐵=⎜ ⎜ ⎜113045⎟ ⎟ ⎟y𝐶=⎜ ⎜ ⎜203211⎟ ⎟ ⎟, calcula la matriz 𝑋 que verifica 𝐴4𝑋 +𝐵 =𝐴𝐶.

Resolución
  1. Comprobemos en primer lugar que la matriz 𝐴 es invertible. Calculamos su determinante. |𝐴|=034145134=1. Como det(𝐴) 0, la matriz 𝐴 es invertible. Para hallar su inversa, calculamos primero su matriz adjunta. Adj(𝐴)=⎜ ⎜ ⎜111043143⎟ ⎟ ⎟. Ahora podemos calcular su inversa como 𝐴1=1|𝐴|Adj(𝐴)𝑡=⎜ ⎜ ⎜101144133⎟ ⎟ ⎟=⎜ ⎜ ⎜101144133⎟ ⎟ ⎟. Por otro lado, calculamos 𝐴2=𝐴𝐴=⎜ ⎜ ⎜034145134⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜034145134⎟ ⎟ ⎟=⎜ ⎜ ⎜101144133⎟ ⎟ ⎟. Por tanto, 𝐴2 = 𝐴1.
  2. En primer lugar, observamos que por el apartado anterior 𝐴4=𝐴2𝐴2=𝐴1𝐴2=𝐴. Despejamos y resolvemos la ecuación matricial. 𝐴4𝑋+𝐵=𝐴𝐶𝐴𝑋+𝐵=𝐴𝐶𝐴𝑋=𝐴𝐶𝐵𝑋=𝐴1(𝐴𝐶𝐵)=𝐶+𝐴1𝐵==⎜ ⎜ ⎜203211⎟ ⎟ ⎟+⎜ ⎜ ⎜101144133⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜113045⎟ ⎟ ⎟=⎜ ⎜ ⎜203211⎟ ⎟ ⎟+⎜ ⎜ ⎜56319214⎟ ⎟ ⎟=⎜ ⎜ ⎜36621315⎟ ⎟ ⎟.

Ejercicio 6

Una empresa de mensajería opera en tres rutas distintas A, B y C. Semanalmente hace un total de 70 viajes, y el número de viajes por la ruta B es igual a la suma de los viajes por las rutas A y C.

  1. Si sabemos que el doble de la suma de los viajes por las rutas A y C es 70, ¿podemos deducir el número de viajes por cada ruta? Razona la respuesta.
  2. Si el doble de viajes por la ruta C es igual al número de viajes por la ruta B menos 5, ¿cuántos viajes hace por cada ruta?

Resolución

Llamamos 𝑥 al número de viajes semanales por la ruta A, 𝑦 al de la ruta B y 𝑧 al de la ruta C.

Si hace un total de 70 viajes semanales, entonces 𝑥+𝑦+𝑧=70. Además, si el número de viajes por la ruta B es igual a la suma de los viajes por las rutas A y C, entonces 𝑦=𝑥+𝑧.

  1. Si el doble de la suma de los viajes por las rutas A y C es 70, entonces 2(𝑥+𝑧)=70. Por tanto, podemos plantear el sistema de ecuaciones lineales { {{ {𝑥+𝑦+𝑧=70,𝑦=𝑥+𝑧,2(𝑥+𝑧)=70{ {{ {𝑥+𝑦+𝑧=70,𝑥𝑦+𝑧=0,2𝑥+2𝑧=70{ {{ {𝑥+𝑦+𝑧=70,𝑥𝑦+𝑧=0,𝑥+𝑧=35. La matriz de coeficientes del sistema es 𝐴=⎜ ⎜ ⎜111111101⎟ ⎟ ⎟. Calculamos su determinante. |𝐴|=111111101=0. Como det(𝐴) =0, entonces rang(𝐴) <3. Por tanto, no se trata de un sistema compatible determinado, así que no se puede determinar el número de viajes por ruta.
  2. Si el doble de viajes por la ruta C es igual al número de viajes por la ruta B menos 5, entonces 2𝑧=𝑦5. Por tanto, podemos plantear el sistema de ecuaciones lineales { {{ {𝑥+𝑦+𝑧=70,𝑥𝑦+𝑧=0,2𝑧=𝑦5{ {{ {𝑥+𝑦+𝑧=70,𝑥𝑦+𝑧=0,𝑦2𝑧=5. Resolvemos el sistema mediante el método de Gauss. ⎜ ⎜ ⎜ ⎜1117011100125⎟ ⎟ ⎟ ⎟𝐹2𝐹1←←←←←←←←⎜ ⎜ ⎜ ⎜11170020700125⎟ ⎟ ⎟ ⎟. El sistema resultante es { {{ {𝑥+𝑦+𝑧=70,2𝑦=70,𝑦2𝑧=5. Por tanto, 2𝑦=70𝑦=35,𝑦2𝑧=5𝑧=𝑦52𝑦=35←←←←←←←𝑧=15,𝑥+𝑦+𝑧=70𝑥=70𝑦𝑧𝑦=35←←←←←←←𝑧=15𝑥=20. Así que se hacen 20 viajes semanales por la ruta A, 35 por la ruta B y 15 por la ruta C.

Ejercicio 7

La recta perpendicular desde el punto 𝐴(1,1,0) a un cierto plano 𝜋 corta a éste en el punto 𝐵(1,12,12).

  1. Calcula la ecuación del plano 𝜋.
  2. Halla la distancia del punto 𝐴 a su simétrico respecto a 𝜋.

Resolución
  1. El plano 𝜋 es perpendicular al vector 𝐴𝐵 =(0,12,12) (0,1, 1), así que el vector normal del plano es 𝑛 =(0,1, 1). Como además pasa por el punto 𝐵(1,12,12), 𝜋𝑦12(𝑧12)=0𝑦𝑧=0.
  2. La distancia de 𝐴 a su simétrico 𝐴 respecto a 𝜋 es el doble de la distancia de 𝐴 al punto 𝐵. Por tanto, dist(𝐴,𝐴)=2dist(𝐴,𝐵)=2|𝐴𝐵|=2(12)2+(12)2=22=2𝑢.

Ejercicio 8

Considera las rectas 𝑟{ {{ {𝑥=3+𝜆,𝑦=1,𝑧=3𝜆y𝑠{𝑥+𝑦=1,𝑧=0.

  1. Estudia la posición relativa de 𝑟 y 𝑠.
  2. Halla la recta que corta perpendicularmente a 𝑟 y a 𝑠.

Resolución
  1. En primer lugar, hallamos las ecuaciones paramétricas de la recta 𝑠. Si tomamos 𝑥 =𝜇, 𝑠{ {{ {𝑥=𝜇,𝑦=1𝜇,𝑧=0. Así que los vectores directores de las rectas 𝑟 y 𝑠 son 𝑑𝑟 =(1,0, 1) y 𝑑𝑠 =(1, 1,0), respectivamente. Observamos que los vectores directores no pueden ser proporcionales, porque 110110. Así que las dos rectas no son paralelas ni coincidentes. Tomamos un punto 𝑅(3,1, 3) de 𝑟 y un punto 𝑆(0,1,0) de 𝑠. Podemos comprobar si las dos rectas están contenidas en un mismo plano viendo si 𝑑𝑟, 𝑑𝑠 y 𝑅𝑆 =( 3,0,3) son linealmente dependientes. 101110303=0. Como los tres vectores son linealmente dependientes, 𝑟 y 𝑠 están contenidas en un mismo plano. Por tanto, las rectas 𝑟 y 𝑠 son secantes.
  2. Llamamos 𝑡 a la recta que queremos hallar. Como es perpendicular a las rectas 𝑟 y 𝑠, su vector director viene dado por 𝑑𝑡=𝑑𝑟×𝑑𝑠=(1,0,1)×(1,1,0)=∣ ∣ ∣ ∣𝑖𝑗𝑘101110∣ ∣ ∣ ∣=(1,1,1). Como además corta a las dos rectas, tiene que pasar por el punto de corte de 𝑟 y 𝑠. Calculamos el punto de corte igualando las ecuaciones entre sí. { {{ {3+𝜆=𝜇,1=1𝜇,3𝜆=0. Obtenemos que 𝜆 = 3 y 𝜇 =0. Así que el punto de corte es (0,1,0). Por tanto, las ecuaciones paramétricas de la recta 𝑡 son 𝑡{ {{ {𝑥=𝜂,𝑦=1𝜂,𝑧=𝜂.