Matemáticas de Selectividad

Calculamos el límite. lím𝑥→0⁡𝑎(1−cos⁡(𝑥))+𝑏sen⁡(𝑥)−2(𝑒𝑥−1)𝑥2=00.

Para resolver la indeterminación, aplicamos la regla de l'Hôpital. lím𝑥→0⁡𝑎(1−cos⁡(𝑥))+𝑏sen⁡(𝑥)−2(𝑒𝑥−1)𝑥2L’H=lím𝑥→0⁡𝑎sen⁡(𝑥)+𝑏cos⁡(𝑥)−2𝑒𝑥2𝑥=𝑏−20. Si 𝑏 ≠2 este límite será infinito, así que necesariamente 𝑏 =2.

Continuamos resolviendo el límite para 𝑏 =2. lím𝑥→0⁡𝑎sen⁡(𝑥)+2cos⁡(𝑥)−2𝑒𝑥2𝑥L’H=lím𝑥→0⁡𝑎cos⁡(𝑥)−2sen⁡(𝑥)−2𝑒𝑥2=𝑎−22.

Por tanto, lím𝑥→0⁡𝑎(1−cos⁡(𝑥))+𝑏sen⁡(𝑥)−2(𝑒𝑥−1)𝑥2=7⇔𝑎−22=7⇔𝑎=16.

Como (1,2) es un punto de la función, entonces 𝑓(1) =2. Así que 𝑓(1)=2⇔𝑏1+𝑎=2⇔𝑏=2+2𝑎. Por otro lado, como la función tiene un punto crítico en 𝑥 =1, entonces 𝑓′(1) =0. Calculamos en primer lugar la derivada de 𝑓. 𝑓′(𝑥)=2𝑏𝑥(1+𝑎𝑥4)−4𝑎𝑏𝑥5(1+𝑎𝑥4)2. Luego 𝑓′(1)=0⇔2𝑏(1+𝑎)−4𝑎𝑏(1+𝑎)2=0⇔2𝑏(1+𝑎)−4𝑎𝑏=0⇔2𝑏(1−𝑎)=0⇔{𝑏=0,𝑎=1. Como 𝑏 >0, la solución 𝑏 =0 no es válida, así que 𝑎 =1. Sustituyendo en la primera ecuación, 𝑏=2+2𝑎𝑎=1←←←←←←←→𝑏=4. Por tanto, 𝑎 =1 y 𝑏 =4.

La función 𝑔(𝑥) =𝑥𝑒𝑥 es continua. Por el teorema fundamental del cálculo, la función 𝐺(𝑥)=∫𝑥0𝑔(𝑡)𝑑𝑡=∫𝑥0𝑡𝑒𝑡𝑑𝑡 es derivable, con 𝐺′(𝑥) =𝑔(𝑥). De esta forma, podemos escribir 𝑓(𝑥)=1+∫𝑥0𝑡𝑒𝑡𝑑𝑡=1+𝐺(𝑥).

Para estudiar la curvatura de la función 𝑓 tenemos que hallar su segunda derivada. 𝑓′(𝑥)=𝐺′(𝑥)=𝑔(𝑥)=𝑥𝑒𝑥,𝑓″(𝑥)=𝑔′(𝑥)=𝑒𝑥+𝑥𝑒𝑥=𝑒𝑥(𝑥+1). Hallamos los candidatos a puntos de inflexión igualando la segunda derivada a cero. 𝑓″(𝑥)=0⇔𝑒𝑥(𝑥+1)=0⇔𝑥+1=0⇔𝑥=−1. Así que el único candidato a punto de inflexión tiene abscisa 𝑥 = −1.

Estudiamos el signo de la segunda derivada para determinar si 𝑓 es cóncava o convexa.

Por tanto, 𝑓 tiene un punto de inflexión en 𝑥 = −1. Su imagen viene dada por 𝑓(−1)=1+∫−10𝑡𝑒𝑡𝑑𝑡=1+∫−10𝑔(𝑡)𝑑𝑡.

En primer lugar, hallamos una primitiva de la función 𝑔. Resolvemos la integral por partes. 𝑢=𝑡⇒𝑢′=1,𝑣′=𝑒𝑥⇒𝑣=𝑒𝑥. Entonces: ∫𝑡𝑒𝑡𝑑𝑡=𝑡𝑒𝑡−∫𝑒𝑡𝑑𝑡=𝑡𝑒𝑡−𝑒𝑡=𝑒𝑡(𝑡−1). Calculamos la integral definida. ∫−10𝑡𝑒𝑡𝑑𝑡=[𝑒𝑡(𝑡−1)]−10=−2𝑒−1+1. Por tanto, 𝑓(−1)=1+∫−10𝑡𝑒𝑡𝑑𝑡=1−2𝑒−1+1=2−2𝑒. Así que el punto de inflexión es (−1,2−2𝑒).

En primer lugar, hallamos todas las primitivas de 𝑓. 𝐹(𝑥)=∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥=∫𝑥2+1𝑥2−1𝑑𝑥.

Para resolver esta integral, hacemos la división de polinomios del integrando. 𝑥2+1𝑥2−1=1+2𝑥2−1. Así que 𝐹(𝑥)=∫𝑥2+1𝑥2−1𝑑𝑥=∫1𝑑𝑥+∫2𝑥2−1𝑑𝑥=𝑥+∫2𝑥2−1𝑑𝑥.

Expresamos la función como suma de fracciones simples. 𝑥2−1=0⇔𝑥=±1. Las raíces del denominador son -1 y 1, así que la función se puede escribir como 2𝑥2−1=𝐴𝑥−1+𝐵𝑥+1=𝐴(𝑥+1)+𝐵(𝑥−1)(𝑥−1)(𝑥+1)=(𝐴+𝐵)𝑥+𝐴−𝐵𝑥2−1. Igualando ambas expresiones, obtenemos que {𝐴+𝐵=0,𝐴−𝐵=2. Resolvemos el sistema por reducción. Si sumamos las dos ecuaciones, obtenemos que 2𝐴=2⇔𝐴=1. Por otro lado, si restamos las dos ecuaciones, obtenemos que 2𝐵=−2⇔𝐵=−1. Por tanto, 2𝑥2−1=1𝑥−1−1𝑥+1.

Resolvemos la integral. 𝐹(𝑥)=𝑥+∫2𝑥2−1𝑑𝑥=𝑥+∫1𝑥−1𝑑𝑥−∫1𝑥+1𝑑𝑥=𝑥+ln⁡|𝑥−1|−ln⁡|𝑥+1|+𝐶.

La primitiva que pasa por el punto (2,4) ha de verificar 𝐹(2) =4. Por tanto, 𝐹(2)=4⇔2−ln⁡(3)+𝐶=4⇔𝐶=2+ln⁡(3). Luego la primitiva es 𝐹(𝑥)=𝑥+ln⁡|𝑥−1|−ln⁡|𝑥+1|+2+ln⁡(3).

1. Comprobemos en primer lugar que la matriz 𝐴 es invertible. Calculamos su determinante. |𝐴|=∣0341−4−5−134∣=−1. Como det(𝐴) ≠0, la matriz 𝐴 es invertible. Para hallar su inversa, calculamos primero su matriz adjunta. Adj⁡(𝐴)=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝−11−104−314−3⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Ahora podemos calcular su inversa como 𝐴−1=1|𝐴|Adj⁡(𝐴)𝑡=−⎛⎜ ⎜ ⎜⎝−101144−1−3−3⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝10−1−1−4−4133⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Por otro lado, calculamos 𝐴2=𝐴⋅𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝0341−4−5−134⎞⎟ ⎟ ⎟⎠⎛⎜ ⎜ ⎜⎝0341−4−5−134⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝−101144−1−3−3⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Por tanto, 𝐴2 = −𝐴−1.
2. En primer lugar, observamos que por el apartado anterior 𝐴4=𝐴2⋅𝐴2=−𝐴−1⋅𝐴2=−𝐴. Despejamos y resolvemos la ecuación matricial. 𝐴4𝑋+𝐵=𝐴𝐶⇔−𝐴𝑋+𝐵=𝐴𝐶⇔−𝐴𝑋=𝐴𝐶−𝐵⇔𝑋=−𝐴−1(𝐴𝐶−𝐵)=−𝐶+𝐴−1𝐵==−⎛⎜ ⎜ ⎜⎝20−321−1⎞⎟ ⎟ ⎟⎠+⎛⎜ ⎜ ⎜⎝10−1−1−4−4133⎞⎟ ⎟ ⎟⎠⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1−130−45⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝−203−2−11⎞⎟ ⎟ ⎟⎠+⎛⎜ ⎜ ⎜⎝5−63−19−214⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝3−66−21−315⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

Llamamos 𝑥 al número de viajes semanales por la ruta A, 𝑦 al de la ruta B y 𝑧 al de la ruta C.

Si hace un total de 70 viajes semanales, entonces 𝑥+𝑦+𝑧=70. Además, si el número de viajes por la ruta B es igual a la suma de los viajes por las rutas A y C, entonces 𝑦=𝑥+𝑧.

1. Si el doble de la suma de los viajes por las rutas A y C es 70, entonces 2(𝑥+𝑧)=70. Por tanto, podemos plantear el sistema de ecuaciones lineales ⎧{ {⎨{ {⎩𝑥+𝑦+𝑧=70,𝑦=𝑥+𝑧,2(𝑥+𝑧)=70⇒⎧{ {⎨{ {⎩𝑥+𝑦+𝑧=70,𝑥−𝑦+𝑧=0,2𝑥+2𝑧=70⇒⎧{ {⎨{ {⎩𝑥+𝑦+𝑧=70,𝑥−𝑦+𝑧=0,𝑥+𝑧=35. La matriz de coeficientes del sistema es 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1111−11101⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Calculamos su determinante. |𝐴|=∣1111−11101∣=0. Como det(𝐴) =0, entonces rang⁡(𝐴) <3. Por tanto, no se trata de un sistema compatible determinado, así que no se puede determinar el número de viajes por ruta.
2. Si el doble de viajes por la ruta C es igual al número de viajes por la ruta B menos 5, entonces 2𝑧=𝑦−5. Por tanto, podemos plantear el sistema de ecuaciones lineales ⎧{ {⎨{ {⎩𝑥+𝑦+𝑧=70,𝑥−𝑦+𝑧=0,2𝑧=𝑦−5⇒⎧{ {⎨{ {⎩𝑥+𝑦+𝑧=70,𝑥−𝑦+𝑧=0,𝑦−2𝑧=5. Resolvemos el sistema mediante el método de Gauss. ⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝111701−11001−25⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠𝐹2−𝐹1←←←←←←←←←←→⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝111700−20−7001−25⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠. El sistema resultante es ⎧{ {⎨{ {⎩𝑥+𝑦+𝑧=70,−2𝑦=−70,𝑦−2𝑧=5. Por tanto, −2𝑦=−70⇔𝑦=35,𝑦−2𝑧=5⇔𝑧=𝑦−52𝑦=35←←←←←←←←→𝑧=15,𝑥+𝑦+𝑧=70⇔𝑥=70−𝑦−𝑧𝑦=35←←←←←←←←→𝑧=15𝑥=20. Así que se hacen 20 viajes semanales por la ruta A, 35 por la ruta B y 15 por la ruta C.

1. El plano 𝜋 es perpendicular al vector ⃗𝐴𝐵 =(0,−12,12) ∥(0,1, −1), así que el vector normal del plano es ⃗𝑛 =(0,1, −1). Como además pasa por el punto 𝐵(1,12,12), 𝜋≡𝑦−12−(𝑧−12)=0⇔𝑦−𝑧=0.
2. La distancia de 𝐴 a su simétrico 𝐴′ respecto a 𝜋 es el doble de la distancia de 𝐴 al punto 𝐵. Por tanto, dist⁡(𝐴,𝐴′)=2dist⁡(𝐴,𝐵)=2|⃗𝐴𝐵|=2√(12)2+(12)2=2√2=√2𝑢.

1. En primer lugar, hallamos las ecuaciones paramétricas de la recta 𝑠. Si tomamos 𝑥 =𝜇, 𝑠≡⎧{ {⎨{ {⎩𝑥=𝜇,𝑦=1−𝜇,𝑧=0. Así que los vectores directores de las rectas 𝑟 y 𝑠 son ⃗𝑑𝑟 =(1,0, −1) y ⃗𝑑𝑠 =(1, −1,0), respectivamente. Observamos que los vectores directores no pueden ser proporcionales, porque 11≠0−1≠−10. Así que las dos rectas no son paralelas ni coincidentes. Tomamos un punto 𝑅(3,1, −3) de 𝑟 y un punto 𝑆(0,1,0) de 𝑠. Podemos comprobar si las dos rectas están contenidas en un mismo plano viendo si ⃗𝑑𝑟, ⃗𝑑𝑠 y ⃗𝑅𝑆 =( −3,0,3) son linealmente dependientes. ∣10−11−10−303∣=0. Como los tres vectores son linealmente dependientes, 𝑟 y 𝑠 están contenidas en un mismo plano. Por tanto, las rectas 𝑟 y 𝑠 son secantes.
2. Llamamos 𝑡 a la recta que queremos hallar. Como es perpendicular a las rectas 𝑟 y 𝑠, su vector director viene dado por ⃗𝑑𝑡=⃗𝑑𝑟×⃗𝑑𝑠=(1,0,−1)×(1,−1,0)=∣⃗𝑥⃗𝑦⃗𝑧10−11−10∣=(−1,−1,−1). Como además corta a las dos rectas, tiene que pasar por el punto de corte de 𝑟 y 𝑠. Calculamos el punto de corte igualando las ecuaciones entre sí. ⎧{ {⎨{ {⎩3+𝜆=𝜇,1=1−𝜇,−3−𝜆=0. Obtenemos que 𝜆 = −3 y 𝜇 =0. Así que el punto de corte es (0,1,0). Por tanto, las ecuaciones paramétricas de la recta 𝑡 son 𝑡≡⎧{ {⎨{ {⎩𝑥=−𝜂,𝑦=1−𝜂,𝑧=−𝜂.