Matemáticas de Selectividad

La función 𝑔(𝑥) =cos⁡(𝑥)sen2⁡(𝑥) es continua. Por el teorema fundamental del cálculo, la función 𝑓(𝑥)=∫𝑥0𝑔(𝑡)𝑑𝑡=∫𝑥0cos⁡(𝑡)sen2⁡(𝑡)𝑑𝑡 es derivable, con 𝑓′(𝑥) =𝑔(𝑥).

Hallamos el valor de la función y la derivada en 𝜋4. 𝑓(𝜋4)=∫𝜋40𝑔(𝑡)𝑑𝑡=∫𝜋40cos⁡(𝑡)sen2⁡(𝑡)𝑑𝑡=[13sen3⁡(𝑡)]𝜋40=13⋅√24=√212,𝑓′(𝜋4)=𝑔(𝜋4)=cos⁡(𝜋4)sen2⁡(𝜋4)=√24.

• La ecuación de la recta tangente a la gráfica de 𝑓 en 𝑥 =𝜋4 viene dada por: 𝑦−𝑓(𝜋4)=𝑓′(𝜋4)(𝑥−𝜋4)⇔𝑦−√212=√24(𝑥−𝜋4)⇔𝑦=√24𝑥+√212−√2𝜋16.
• La ecuación de la recta normal a la gráfica de 𝑓 en 𝑥 =𝜋4 viene dada por: 𝑦−𝑓(𝜋4)=−1𝑓′(𝜋4)(𝑥−𝜋4)⇔𝑦−√212=−4√2(𝑥−𝜋4)⇔𝑦=−2√2𝑥+√212+𝜋√2.

La función 𝑓(𝑥) =sen⁡(𝑥2) es continua. Por el teorema fundamental del cálculo, la función 𝐹(𝑥)=∫𝑥0𝑓(𝑡)𝑑𝑡=∫𝑥0sen⁡(𝑡2)𝑑𝑡 es derivable, con 𝐹′(𝑥) =𝑓(𝑥).

Además, 𝐹(0)=∫00sen⁡(𝑡2)𝑑𝑡=0, así que lím𝑥→0⁡𝑥𝐹(𝑥)sen⁡(𝑥2)=00.

Para resolver la indeterminación, aplicamos la regla de l'Hôpital. lím𝑥→0⁡𝑥𝐹(𝑥)sen⁡(𝑥2)L’H=lím𝑥→0⁡𝐹(𝑥)+𝑥𝐹′(𝑥)2𝑥cos⁡(𝑥2)L’H=lím𝑥→0⁡𝐹′(𝑥)+𝐹′(𝑥)+𝑥𝐹″(𝑥)2cos⁡(𝑥2)−4𝑥2sen⁡(𝑥2)=lím𝑥→0⁡2sen⁡(𝑥2)+2𝑥2cos⁡(𝑥2)2cos⁡(𝑥2)−4𝑥2sen⁡(𝑥2)=0. Hemos usado que 𝐹″(𝑥) =𝑓′(𝑥) =2𝑥cos⁡(𝑥2).

La función 𝑓(𝑥) =2𝑥cos⁡(𝑥) es continua. Por el teorema fundamental del cálculo, la función 𝐹(𝑥)=∫𝑥0𝑓(𝑡)𝑑𝑡=∫𝑥02𝑡cos⁡(𝑡)𝑑𝑡 es derivable, con 𝐹′(𝑥) =𝑓(𝑥).

1. Hallamos los puntos críticos de 𝐹. 𝐹′(𝑥)=0⇔𝑓(𝑥)=0⇔2𝑥cos⁡(𝑥)=0⇔{𝑥=0,cos⁡(𝑥)=0⇔𝑥=𝜋2o𝑥=3𝜋2. Así que los puntos críticos son 𝑥 =0, 𝑥 =𝜋2 y 𝑥 =3𝜋2. Estudiamos el signo de 𝐹′ =𝑓 para determinar si 𝐹 es creciente o decreciente.
   • Si 𝑥 ∈(0,𝜋2), 𝐹′(𝑥) >0. Así que 𝐹 es creciente.
   • Si 𝑥 ∈(𝜋2,3𝜋2), 𝐹′(𝑥) <0. Así que 𝐹 es decreciente.
   • Si 𝑥 ∈(3𝜋2,2𝜋), 𝐹′(𝑥) >0. Así que 𝐹 es creciente.
   Por tanto, 𝐹 es creciente en (0,𝜋2) ∪(3𝜋2,2𝜋) y es decreciente en (𝜋2,3𝜋2).
2. La ecuación de la recta tangente a la gráfica de 𝐹 en 𝑥 =𝜋 viene dada por 𝑦−𝐹(𝜋)=𝐹′(𝜋)(𝑥−𝜋). Por un lado, 𝐹′(𝜋)=𝑓(𝜋)=−2𝜋. Por otro lado, 𝐹(𝜋)=∫𝜋0𝑓(𝑡)𝑑𝑡=∫𝜋02𝑡cos⁡(𝑡)𝑑𝑡. En primer lugar, hallamos una primitiva de 𝑓. Resolvemos la integral por partes. 𝑢=𝑡⇒𝑢′=1,𝑣′=cos⁡(𝑡)⇒𝑣=sen⁡(𝑡). Entonces: ∫2𝑡cos⁡(𝑡)𝑑𝑡=2∫𝑡cos⁡(𝑡)𝑑𝑡=2𝑡sen⁡(𝑡)−2∫sen⁡(𝑡)𝑑𝑡=2𝑡sen⁡(𝑡)+2cos⁡(𝑡). Calculamos la integral definida. 𝐹(𝜋)=∫𝜋02𝑡cos⁡(𝑡)𝑑𝑡=2[𝑡sen⁡(𝑡)+cos⁡(𝑡)]𝜋0=−2−2=−4. Por tanto, la ecuación de la recta tangente en 𝑥 =𝜋 es 𝑦+4=−2𝜋(𝑥−𝜋)⇔𝑦=−2𝜋𝑥+2𝜋2−4.

La función 𝑓(𝑥) =2𝑥 +√𝑥 es continua si 𝑥 ≥0. Por el teorema fundamental del cálculo, la función 𝐹(𝑥)=∫𝑥0𝑓(𝑡)𝑑𝑡=∫𝑥0(2𝑡+√𝑡)𝑑𝑡 es derivable, con 𝐹′(𝑥) =𝑓(𝑥).$

La ecuación de la recta tangente a la gráfica de 𝐹 en 𝑥 =1 viene dada por 𝑦−𝐹(1)=𝐹′(1)(𝑥−1). Por un lado, 𝐹′(1)=𝑓(1)=3. Por otro lado, 𝐹(1)=∫10𝑓(𝑡)𝑑𝑡=∫10(2𝑡+√𝑡)𝑑𝑡=[𝑡2+23𝑡32]10=1+23=53.

Por tanto, la ecuación de la recta tangente en 𝑥 =1 es 𝑦−53=3(𝑥−1)⇔𝑦=3𝑥−3+53⇔𝑦=3𝑥−43.

La función 𝑔(𝑥) =𝑥𝑒𝑥 es continua. Por el teorema fundamental del cálculo, la función 𝐺(𝑥)=∫𝑥0𝑔(𝑡)𝑑𝑡=∫𝑥0𝑡𝑒𝑡𝑑𝑡 es derivable, con 𝐺′(𝑥) =𝑔(𝑥). De esta forma, podemos escribir 𝑓(𝑥)=1+∫𝑥0𝑡𝑒𝑡𝑑𝑡=1+𝐺(𝑥).

Para estudiar la curvatura de la función 𝑓 tenemos que hallar su segunda derivada. 𝑓′(𝑥)=𝐺′(𝑥)=𝑔(𝑥)=𝑥𝑒𝑥,𝑓″(𝑥)=𝑔′(𝑥)=𝑒𝑥+𝑥𝑒𝑥=𝑒𝑥(𝑥+1). Hallamos los candidatos a puntos de inflexión igualando la segunda derivada a cero. 𝑓″(𝑥)=0⇔𝑒𝑥(𝑥+1)=0⇔𝑥+1=0⇔𝑥=−1. Así que el único candidato a punto de inflexión tiene abscisa 𝑥 = −1. Estudiamos el signo de 𝑓″ para determinar si 𝑓 es cóncava o convexa.

• Si 𝑥 < −1, 𝑓″(𝑥) <0. Así que 𝑓 es cóncava en ( −∞, −1).
• Si 𝑥 > −1, 𝑓″(𝑥) >0. Así que 𝑓 es convexa en ( −1, +∞).

En primer lugar, hallamos una primitiva de la función 𝑔. Resolvemos la integral por partes. 𝑢=𝑡⇒𝑢′=1,𝑣′=𝑒𝑥⇒𝑣=𝑒𝑥. Entonces: ∫𝑡𝑒𝑡𝑑𝑡=𝑡𝑒𝑡−∫𝑒𝑡𝑑𝑡=𝑡𝑒𝑡−𝑒𝑡=𝑒𝑡(𝑡−1). Calculamos la integral definida. ∫−10𝑡𝑒𝑡𝑑𝑡=[𝑒𝑡(𝑡−1)]−10=−2𝑒−1+1. Por tanto, 𝑓(−1)=1+∫−10𝑡𝑒𝑡𝑑𝑡=1−2𝑒−1+1=2−2𝑒. Así que el punto de inflexión es (−1,2−2𝑒).

1. Calculamos todas las primitivas de 𝑓. ∫𝑓(𝑡)𝑑𝑡=∫11+𝑒𝑡𝑑𝑡. Para resolver esta integral, usamos el cambio de variable 𝑥=1+𝑒𝑡⇒𝑡=ln⁡(𝑥−1),𝑑𝑡=1𝑥−1𝑑𝑡 De esta forma, ∫11+𝑒𝑡𝑑𝑡=∫1𝑥(𝑥−1)𝑑𝑥. Para resolver esta nueva integral, expresamos la función como suma de fracciones simples. Las raíces del denominador son 0 y 1, así que la función se puede escribir como 1𝑥(𝑥−1)=𝐴𝑥+𝐵𝑥−1=𝐴𝑥−𝐴+𝐵𝑥𝑥(𝑥−1)=(𝐴+𝐵)𝑥−𝐴𝑥(𝑥−1). Igualando ambas expresiones, obtenemos que {𝐴+𝐵=0,−𝐴=1. Resolvemos: −𝐴=1⇔𝐴=−1,𝐴+𝐵=0𝐴=−1←←←←←←←←→−1+𝐵=0⇔𝐵=1. Por tanto, 1𝑥(𝑥−1)=−1𝑥+1𝑥−1. Resolvemos la integral. ∫1𝑥(𝑥−1)𝑑𝑥=∫1𝑥−1𝑑𝑥−∫1𝑥𝑑𝑥=ln⁡|𝑥−1|−ln⁡|𝑥|+𝐶=𝑡−ln⁡(1+𝑒𝑡)+𝐶.
2. La función 𝑓 es continua. Por el teorema fundamental del cálculo, la función 𝑔(𝑥)=∫𝑥0𝑓(𝑡)𝑑𝑡=∫𝑥011+𝑒𝑡𝑑𝑡 es derivable, con 𝑔′(𝑥) =𝑓(𝑥). Además, 𝑔(0)=∫0011+𝑒𝑡𝑑𝑡=0, así que lím𝑥→0⁡𝑔(𝑥)𝑥=00. Para resolver la indeterminación, aplicamos la regla de l'Hôpital. lím𝑥→0⁡𝑔(𝑥)𝑥L’H=lím𝑥→0⁡𝑔′(𝑥)1=lím𝑥→0⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→0⁡11+𝑒𝑥=12.

1. Calculamos la integral definida. ∫𝜋60(3𝑓(𝑥)−cos⁡(𝑥))𝑑𝑥=3∫𝜋60𝑓(𝑥)𝑑𝑥−∫𝜋60cos⁡(𝑥)𝑑𝑥=3[𝐹(𝑥)]𝜋60−[sen⁡(𝑥)]𝜋60==3(𝐹(𝜋6)−𝐹(0))−sen⁡(𝜋6)=3(𝜋−𝜋3)−12=2𝜋−12=4𝜋−12.
2. Como la función 𝑓 es continua y 𝐹 es su primitiva, por el teorema fundamental del cálculo 𝐹 es derivable con 𝐹′(𝑥) =𝑓(𝑥). Calculamos la integral definida. ∫𝜋60sen⁡(𝐹(𝑥))𝑓(𝑥)𝑑𝑥=[−cos⁡(𝐹(𝑥))]𝜋60=−cos⁡(𝐹(𝜋6))+cos⁡(𝐹(0))=−cos⁡(𝜋)+cos⁡(𝜋3)=1+12=32.