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📋 Reserva 4 de 2020

Ejercicio 1

Sea 𝑓 :ℝ →ℝ la función definida por 𝑓(𝑥) =(5 −𝑥)𝑒𝑥−4. Determina los puntos de la gráfica de 𝑓 cuya recta tangente tiene pendiente máxima.

Resolución

En primer lugar, hallamos las dos primeras derivadas de la función 𝑓. 𝑓′(𝑥)=−𝑒𝑥+4+(5−𝑥)𝑒𝑥+4=(4−𝑥)𝑒𝑥+4,𝑓″(𝑥)=−𝑒𝑥+4+(4−𝑥)𝑒𝑥+4=(3−𝑥)𝑒𝑥+4.

La pendiente de la recta tangente viene dada por la derivada. Para encontrar el máximo, hallamos los puntos críticos de 𝑓′ igualando su derivada a cero. 𝑓″(𝑥)=0⇔(3−𝑥)𝑒𝑥+4=0⇔3−𝑥=0⇔𝑥=3.

Estudiamos el signo de 𝑓″.

( −∞,3) (3, +∞)
signo de 𝑓″ + −
monotonía de 𝑓′ → →

Por tanto, la pendiente máxima de la recta tangente se alcanza en el punto (3,2𝑒).

Ejercicio 2

Considera la función 𝑓 :ℝ →ℝ definida por 𝑓(𝑡)=11+𝑒𝑡.

  1. Calcula ∫𝑓(𝑡)𝑑𝑡. (Sugerencia: efectúa el cambio de variable 𝑥 =1 +𝑒𝑡).
  2. Se define 𝑔(𝑥)=∫𝑥0𝑓(𝑡)𝑑𝑡. Calcula lím𝑥→0⁡𝑔(𝑥)𝑥.

Resolución
  1. Calculamos todas las primitivas de 𝑓. ∫𝑓(𝑡)𝑑𝑡=∫11+𝑒𝑡𝑑𝑡. Para resolver esta integral, usamos el cambio de variable 𝑥=1+𝑒𝑡⇒𝑡=ln⁡(𝑥−1),𝑑𝑡=1𝑥−1𝑑𝑡 De esta forma, ∫11+𝑒𝑡𝑑𝑡=∫1𝑥(𝑥−1)𝑑𝑥. Para resolver esta nueva integral, expresamos la función como suma de fracciones simples. Las raíces del denominador son 0 y 1, así que la función se puede escribir como 1𝑥(𝑥−1)=𝐴𝑥+𝐵𝑥−1=𝐴𝑥−𝐴+𝐵𝑥𝑥(𝑥−1)=(𝐴+𝐵)𝑥−𝐴𝑥(𝑥−1). Igualando ambas expresiones, obtenemos que {𝐴+𝐵=0,−𝐴=1. Resolvemos: −𝐴=1⇔𝐴=−1,𝐴+𝐵=0𝐴=−1←←←←←←←←→−1+𝐵=0⇔𝐵=1. Por tanto, 1𝑥(𝑥−1)=−1𝑥+1𝑥−1. Resolvemos la integral. ∫1𝑥(𝑥−1)𝑑𝑥=∫1𝑥−1𝑑𝑥−∫1𝑥𝑑𝑥=ln⁡|𝑥−1|−ln⁡|𝑥|+𝐶=𝑡−ln⁡(1+𝑒𝑡)+𝐶.
  2. La función 𝑓 es continua. Por el teorema fundamental del cálculo, la función 𝑔(𝑥)=∫𝑥0𝑓(𝑡)𝑑𝑡=∫𝑥011+𝑒𝑡𝑑𝑡 es derivable, con 𝑔′(𝑥) =𝑓(𝑥). Además, 𝑔(0)=∫0011+𝑒𝑡𝑑𝑡=0, así que lím𝑥→0⁡𝑔(𝑥)𝑥=00. Para resolver la indeterminación, aplicamos la regla de l'Hôpital. lím𝑥→0⁡𝑔(𝑥)𝑥L’H=lím𝑥→0⁡𝑔′(𝑥)1=lím𝑥→0⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→0⁡11+𝑒𝑥=12.

Ejercicio 3

Considera el sistema de ecuaciones ⎧{ {⎨{ {⎩−𝑚𝑦+𝑧=1,5𝑥+2𝑦+𝑚𝑧=0,𝑚𝑦+(𝑚−3)𝑧=−3.

  1. Discute el sistema en función de 𝑚.
  2. Para 𝑚 =0, resuelve el sistema. Calcula, si es posible, una solución en la que 𝑦 =5.

Ejercicio 4

Considera los puntos 𝐴(1,0,1), 𝐵( −1,0,2) y 𝑂(0,0,0), y la recta 𝑟≡⎧{ {⎨{ {⎩𝑥=−1−𝜆,𝑦=𝜆,𝑧=2.

  1. Calcula la distancia del punto 𝐴 a la recta 𝑟.
  2. Determina el área del triángulo de vértices 𝐴, 𝐵 y 𝑂.

Ejercicio 5

Se sabe que la función 𝑓 :ℝ →ℝ dada por 𝑓(𝑥)=𝑎𝑥3+𝑏𝑥2+𝑐𝑥−1, tiene un punto crítico en 𝑥 =2 y que la recta normal a su gráfica en el punto de abscisa 𝑥 =1 es 𝑦 =12𝑥 +32. Calcula 𝑎, 𝑏 y 𝑐.

Resolución

En primer lugar, hallamos la derivada de la función 𝑓. 𝑓′(𝑥)=3𝑎𝑥2+2𝑏𝑥+𝑐.

  • Si la función tiene un punto crítico en 𝑥 =2, ha de verificarse que: 𝑓′(2)=0⇔12𝑎+4𝑏+𝑐=0.
  • Si la recta normal en 𝑥 =1 tiene pendiente 12, ha de verificarse que: −1𝑓′(1)=12⇔𝑓′(1)=−2⇔3𝑎+2𝑏+𝑐=−2.
  • Si 𝑦 =12𝑥 +32 es la recta normal en 𝑥 =1, el punto (1,2) pertenece a la gráfica de la función. Así que ha de verificarse que: 𝑓(1)=2⇔𝑎+𝑏+𝑐−1=2⇔𝑎+𝑏+𝑐=3.

Planteamos el sistema de ecuaciones: ⎧{ {⎨{ {⎩𝑎+𝑏+𝑐=3,3𝑎+2𝑏+𝑐=−2,12𝑎+4𝑏+𝑐=0. Resolvemos el sistema mediante el método de Gauss. ⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝1113321−212410⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠𝐹2−𝐹1←←←←←←←←→𝐹3−𝐹1⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝1113210−51130−3⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠𝐹3−3𝐹2←←←←←←←←←→⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝1113210−550012⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠. El sistema resultante es: ⎧{ {⎨{ {⎩𝑎+𝑏+𝑐=3,2𝑎+𝑏=−5,5𝑎=12. Por tanto, 5𝑎=12⇔𝑎=125,2𝑎+𝑏=−5⇔𝑏=−5−2𝑎=−5−245−495,𝑎+𝑏+𝑐=3⇔𝑐=3−𝑎−𝑏=3−125+495=525.

Ejercicio 6

Calcula ∫cos⁡(ln⁡(𝑥))𝑑𝑥.

Resolución

Resolvemos la integral por partes. 𝑢=cos⁡(ln⁡(𝑥))⇒𝑢′=−sen⁡(ln⁡(𝑥))⋅1𝑥,𝑣′=1⇒𝑣=𝑥. De esta forma, ∫cos⁡(ln⁡(𝑥))𝑑𝑥=𝑥cos⁡(ln⁡(𝑥))+∫sen⁡(ln⁡(𝑥))𝑑𝑥. Integramos de nuevo por partes. 𝑢=sen⁡(ln⁡(𝑥))⇒𝑢′=cos⁡(ln⁡(𝑥))⋅1𝑥,𝑣′=1⇒𝑣=𝑥. Así que: ∫cos⁡(ln⁡(𝑥))𝑑𝑥=𝑥cos⁡(ln⁡(𝑥))+∫sen⁡(ln⁡(𝑥))𝑑𝑥=𝑥cos⁡(ln⁡(𝑥))+𝑥sen⁡(ln⁡(𝑥))−∫cos⁡(ln⁡(𝑥))𝑑𝑥.

Despejando la integral en la expresión anterior, obtenemos que: 2∫cos⁡(ln⁡(𝑥))𝑑𝑥=𝑥cos⁡(ln⁡(𝑥))+𝑥sen⁡(ln⁡(𝑥))⇔∫cos⁡(ln⁡(𝑥))𝑑𝑥=𝑥cos⁡(ln⁡(𝑥))+𝑥sen⁡(ln⁡(𝑥))2+𝐶.

Ejercicio 7

Considera 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1−1𝑚𝑚2−3𝑚−104⎞⎟ ⎟ ⎟⎠,𝐵=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝5−12⎞⎟ ⎟ ⎟⎠y𝐶=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝310⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

  1. Determina los valores de 𝑚 para los que la ecuación 𝐴𝑋 +𝐵 =𝐶 tiene solución única.
  2. Para 𝑚 =0, halla 𝑋 tal que 𝐴𝑋 +𝐵 =𝐶.

Ejercicio 8

Considera el plano 𝜋 ≡2𝑥 −𝑦 +𝑧 −3 =0, la recta 𝑟≡⎧{ {⎨{ {⎩𝑥=3+𝜆,𝑦=1−2𝜆,𝑧=−2−𝜆 y el punto 𝑃(1,1,2).

  1. Determina la ecuación general del plano perpendicular a 𝜋, paralelo a 𝑟 y que pasa por el punto 𝑃.
  2. Calcula el punto simétrico de 𝑃 respecto de la recta 𝑟.