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📋 Reserva 3 de 2019

Ejercicio A1

Según un determinado modelo, la concentración en sangre de cierto medicamento viene dada por la función 𝐶(𝑡) =𝑡𝑒−𝑡/2 mg/ml, siendo 𝑡 el tiempo en horas transcurridas desde que se le administra el medicamento al enfermo.

  1. Determina, si existe, el valor máximo absoluto de la función y en qué momento se alcanza.
  2. Sabiendo que la máxima concentración sin peligro para el paciente es 1 mg/ml, señala si en algún momento del tratamiento hay riesgo para el paciente.

Ejercicio A2

Dado un número real 𝑎 >0, considera la función 𝑓 :ℝ →ℝ, dada por 𝑓(𝑥) =𝑥2 −𝑎𝑥, y la recta 𝑦 =2𝑎𝑥. Determina 𝑎 sabiendo que el área del recinto limitado por la gráfica de 𝑓 y la recta anterior es 36.

Ejercicio A3

Dada la matriz 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝543422321⎞⎟ ⎟ ⎟⎠, halla la matriz 𝑋 que cumple 𝐴𝑋 =(𝐴−1𝐴𝑡 +𝐼)2, siendo 𝐼 la matriz identidad de orden 3.

Ejercicio A4

Considera la recta 𝑟≡{𝑥+𝑦+2=0,−𝑦+𝑧+5=0 y el plano 𝜋 ≡2𝑥 +𝑦 −𝑚𝑧 =1.

  1. Calcula 𝑚 sabiendo que 𝑟 y 𝜋 son paralelos.
  2. Para 𝑚 = −1, calcula la distancia entre 𝑟 y 𝜋.

Ejercicio B1

Dada 𝑓 :(1,𝑒) →ℝ la función definida por 𝑓(𝑥)=1𝑥+ln⁡(𝑥), determina la recta tangente a la gráfica de 𝑓 que tiene pendiente máxima.

Ejercicio B2

Sea 𝑓 :[0,𝜋6] →ℝ una función continua y sea 𝐹 la primitiva de 𝑓 que cumple 𝐹(0) =𝜋3 y 𝐹(𝜋6) =𝜋.

  1. Calcula ∫𝜋60(3𝑓(𝑥)−cos⁡(𝑥))𝑑𝑥.
  2. Calcula ∫𝜋60sen⁡(𝐹(𝑥))𝑓(𝑥)𝑑𝑥.

Resolución
  1. Calculamos la integral definida. ∫𝜋60(3𝑓(𝑥)−cos⁡(𝑥))𝑑𝑥=3∫𝜋60𝑓(𝑥)𝑑𝑥−∫𝜋60cos⁡(𝑥)𝑑𝑥=3[𝐹(𝑥)]𝜋60−[sen⁡(𝑥)]𝜋60==3(𝐹(𝜋6)−𝐹(0))−sen⁡(𝜋6)=3(𝜋−𝜋3)−12=2𝜋−12=4𝜋−12.
  2. Como la función 𝑓 es continua y 𝐹 es su primitiva, por el teorema fundamental del cálculo 𝐹 es derivable con 𝐹′(𝑥) =𝑓(𝑥). Calculamos la integral definida. ∫𝜋60sen⁡(𝐹(𝑥))𝑓(𝑥)𝑑𝑥=[−cos⁡(𝐹(𝑥))]𝜋60=−cos⁡(𝐹(𝜋6))+cos⁡(𝐹(0))=−cos⁡(𝜋)+cos⁡(𝜋3)=1+12=32.

Ejercicio B3

Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales. ⎧{ {⎨{ {⎩𝑥+𝜆𝑦+𝑧=4,−𝜆𝑥+𝑦+𝑧=1,𝑥+𝑦+𝑧=𝜆+3.

  1. Discute el sistema según los valores de 𝜆.
  2. Resuelve el sistema, si es posible, para 𝜆 =1.

Ejercicio B4

Halla cada uno de los puntos de la recta 𝑟≡{𝑥−𝑦=0,𝑦−𝑧=0 de manera que junto con los puntos 𝐴(1,1,0), 𝐵(1,0,1) y 𝐶(0,1,1) formen un tetraedro de volumen 56.