Matemáticas de Selectividad

Sea la función 𝑓 :ℝ →ℝ definida por 𝑒𝑥(𝑥 −2).

1. Calcula las asíntotas de 𝑓.
2. Halla los extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan) y los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de 𝑓.
3. Determina, si existen, los puntos de inflexión de la gráfica de 𝑓.

Sea 𝑓 una función continua en el intervalo [2,3] y 𝐹 una función primitiva de 𝑓 tal que 𝐹(2) =1 y 𝐹(3) =2. Calcula:

1. ∫32𝑓(𝑥)𝑑𝑥.
2. ∫32(5𝑓(𝑥) −7)𝑑𝑥.
3. ∫32(𝐹(𝑥))2𝑓(𝑥)𝑑𝑥.

Sea la matriz 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝0012121𝑘1⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

1. ¿Para qué valores del parámetro 𝑘 no existe la inversa de la matriz 𝐴? Justifica la respuesta.
2. Para 𝑘 =0, resuelve la ecuación matricial (𝑋 +𝐼)𝐴 =𝐴𝑡.

De un paralelogramo 𝐴𝐵𝐶𝐷 conocemos tres vértices consecutivos: 𝐴(2, −1,0), 𝐵( −2,1,0) y 𝐶(0,1,2).

1. Calcula la ecuación de la recta que pasa por el centro del paralelogramo y es perpendicular al plano que lo contiene.
2. Halla el área de dicho paralelogramo.
3. Calcula el vértice 𝐷.

Sabiendo que lím𝑥→0⁡𝑎sen⁡(𝑥)−𝑥𝑒𝑥𝑥2 es finito, calcula el valor de 𝑎 y el de dicho límite.

Sea la función 𝑓 definida por 𝑓(𝑥)=2𝑥2−1 para 𝑥 ≠ −1 y 𝑥 ≠1.

1. Halla una primitiva de 𝑓.
2. Calcula el valor de 𝑘 para que el área del recinto limitado por el eje de abscisas y la gráfica de 𝑓 en el intervalo [2,𝑘] sea ln⁡(2).

Considera el sistema de ecuaciones ⎧{ {⎨{ {⎩𝑥+𝑦+𝑧=𝜆+1,3𝑦+2𝑧=2𝜆+3,3𝑥+(𝜆−1)𝑦+𝑧=𝜆.

1. Resuelve el sistema para 𝜆 =1.
2. Halla los valores de 𝜆 para los que el sistema tiene una única solución.
3. ¿Existe algún valor de 𝜆 para el que el sistema admite la solución (−12,0,12)?

Sean 𝑟 y 𝑠 las rectas dadas por 𝑟≡{𝑥+𝑦−𝑧=6,𝑥+𝑧=3y𝑠≡𝑥−1−1=𝑦+16=𝑧2.

1. Determina el punto de intersección de ambas rectas.
2. Calcula la ecuación general del plano que las contiene.