Matemáticas de Selectividad

Calcula lím𝑥→0⁡tg⁡(𝑥)−𝑥𝑥−sen⁡(𝑥).

Considera las funciones 𝑓 y 𝑔 :ℝ →ℝ definidas por 𝑓(𝑥) = −𝑥2 −𝑥 +3 y 𝑔(𝑥) =|𝑥|.

1. Esboza el recinto limitado por las gráficas de 𝑓 y 𝑔 y calcula los puntos de corte entre ambas gráficas.
2. Calcula el área del recinto descrito en el apartado anterior.

Considera la matriz 𝑀=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝123603𝑥𝑦𝑧⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Sabiendo que el determinante de 𝑀 es 2, calcula los siguientes determinantes e indica las propiedades que utilices.

1. El determinante de la matriz 5𝑀4.
2. El determinante ∣201123𝑥𝑦𝑧∣.
3. El determinante ∣1𝑥+6𝑥2𝑦𝑦3𝑧+3𝑧∣.

Sea 𝑟 la recta que pasa por los puntos 𝐴(3,6,7) y 𝐵(7,8,3) y sea 𝑠 la recta dada por {𝑥−4𝑦−𝑧=−10,3𝑥−4𝑦+𝑧=−2.

1. Determina la posición relativa de 𝑟 y 𝑠.
2. Calcula la distancia entre 𝑟 y 𝑠.

Se desea construir una caja sin tapadera de base cuadrada. El precio del material es de 18 euros/m² para los laterales y de 24 euros/m² para la base. Halla las dimensiones de la caja de mayor volumen que se puede construir si disponemos de 50 euros.

Se sabe que la función 𝑓 :[0, +∞) →ℝ dada por 𝑓(𝑥)=⎧{ {⎨{ {⎩√𝑎𝑥,si 0≤𝑥≤0,𝑥2−32𝑥−4,si 𝑥>8 es continua.

1. Determina 𝑎.
2. Para 𝑎 =8, calcula ∫100𝑓(𝑥)𝑑𝑥.

Considera la matriz 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝0−1−2020113⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

1. Halla, si existe, la inversa de 𝐴.
2. Determina los valores de 𝑚 tales que (𝐴 −𝑚𝐼) tiene inversa.
3. Calcula el rango de (𝐴 −2𝐼).

1. Determina la ecuación del plano que pasa por el punto 𝐴(0,1,0) y es perpendicular a la recta 𝑟 dada por 𝑥+1=𝑦+22=𝑧−1.
2. Calcula el área del triángulo cuyos vértices son los puntos de corte del plano de ecuación 2𝑥 +3𝑦 +4𝑧 =12 con los ejes coordenados.