Matemáticas de Selectividad

Considera la función 𝑓 :ℝ →ℝ definida por 𝑓(𝑥)=⎧{ {⎨{ {⎩𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐,si 𝑥≤0,𝑒𝑥−𝑒−𝑥−2𝑥𝑥−sen⁡(𝑥),si 𝑥>0. Determina 𝑎, 𝑏 y 𝑐 sabiendo que 𝑓 es continua, alcanza un máximo relativo en 𝑥 = −1 y la recta tangente a la gráfica de 𝑓 en el punto de abscisa 𝑥 = −2 tiene pendiente 2.

Considera la función 𝑓 definida por 𝑓(𝑥) =𝑎𝑥ln⁡(𝑥) −𝑏𝑥 para 𝑥 >0. Determina 𝑎 y 𝑏 sabiendo que 𝑓 tiene un extremo relativo en 𝑥 =1 y que ∫21𝑓(𝑥)𝑑𝑥=8ln⁡(2)−9.

Considera las siguientes matrices: 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝0010−10100⎞⎟ ⎟ ⎟⎠y𝐵=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝𝑎𝑏𝑐010−100⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

1. Determina, si existen, los valores de 𝑎, 𝑏 y 𝑐 para los que las matrices 𝐴 y 𝐵 conmutan.
2. Calcula 𝐴2, 𝐴3, 𝐴2017 y 𝐴2018.
3. Calcula, si existe, la matriz inversa de 𝐴.

Considera las rectas 𝑟≡𝑥+12=𝑦1=𝑧+13y𝑠≡{2𝑥−3𝑦=−5,𝑦−2𝑧=−1.

1. Estudia y determina la posición relativa de 𝑟 y 𝑠.
2. Calcula la distancia entre 𝑟 y 𝑠.

Considera la función 𝑓 definida por 𝑓(𝑥) =𝑎ln⁡(𝑥) +𝑏𝑥2 +𝑥 para 𝑥 >0.

1. Halla 𝑎 y 𝑏 sabiendo que 𝑓 tiene extremos relativos en 𝑥 =1 y en 𝑥 =2.
2. ¿Qué tipo de extremos tiene 𝑓 en 𝑥 =1 y en 𝑥 =2?

Considera la función 𝑓 :ℝ →ℝ definida por 𝑓(𝑥) =𝑒−2𝑥.

1. Determina el punto de la gráfica de 𝑓 en el que la recta tangente es 𝑦 = −2𝑒𝑥.
2. Esboza el recinto limitado por la gráfica de 𝑓, la recta 𝑦 = −2𝑒𝑥 y el eje de ordenadas.
3. Calcula el área del recinto descrito en el apartado anterior.

Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales: ⎧{ {⎨{ {⎩𝑥+𝑦+𝑚𝑧=𝑚2,𝑦−𝑧=𝑚,𝑥+𝑚𝑦+𝑧=𝑚.

1. Discute el sistema según los valores del parámetro 𝑚.
2. Resuélvelo para 𝑚 =1. Para dicho valor de 𝑚, calcula, si es posible, una solución en la que 𝑧 =2.

Considera las rectas 𝑟≡𝑥−12=𝑦+1𝑚=𝑧y𝑠≡{𝑥+𝑛𝑧=−2,𝑦−𝑧=−3.

1. Halla los valores de 𝑚 y 𝑛 para los que 𝑟 y 𝑠 se cortan perpendicularmente.
2. Para 𝑚 =3 y 𝑛 =1, calcula la ecuación general del plano que contiene a 𝑟 y a 𝑠.