Matemáticas de Selectividad

Sea la función 𝑓 :(0, +∞) →ℝ definida por 𝑓(𝑥)=ln⁡(𝑥)𝑥.

1. Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de 𝑓.
2. Halla los extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan) y los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de 𝑓.

De la función 𝑓 :ℝ →ℝ definida por 𝑓(𝑥) =𝑎𝑒𝑥 −𝑏𝑥, donde 𝑎,𝑏 ∈ℝ, se sabe que su gráfica tiene tangente horizontal en 𝑥 =0 y que ∫10𝑓(𝑥)𝑑𝑥 =𝑒 −32. Halla los valores de 𝑎 y 𝑏.

Sea la matriz 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝21001−1024⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

1. Estudia, según los valores de 𝜆, el rango de la matriz 𝐴 −𝜆𝐼, siendo 𝐼 la matriz identidad de orden 3.
2. Resuelve el sistema dado por (𝐴−2𝐼)⎛⎜ ⎜ ⎜⎝𝑥𝑦𝑧⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝000⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

Sea 𝑟 la recta dada por {𝑥+𝑧=1,𝑦=−1 y sea 𝑠 la recta definida por ⎧{ {⎨{ {⎩𝑥=2+𝜆,𝑦=2,𝑧=2+2𝜆.

1. Comprueba que las rectas 𝑟 y 𝑠 se cruzan y halla la ecuación de la recta que corta perpendicularmente a 𝑟 y a 𝑠.
2. Calcula la distancia entre 𝑟 y 𝑠.

Sea 𝑓 :ℝ →ℝ la función definida por 𝑓(𝑥) =𝑥3 +𝑎𝑥2 +𝑏𝑥 +𝑐. Determina 𝑎, 𝑏 y 𝑐 sabiendo que la gráfica de 𝑓 tiene una tangente horizontal en el punto de abscisa 𝑥 =1 y un punto de inflexión en ( −1,5).

Considera la función 𝑓 :ℝ →ℝ definida por 𝑓(𝑥)=3𝑥(2𝑚−𝑥)𝑚3, con 𝑚 >0. Calcula el área del recinto encerrado por la gráfica de 𝑓 y el eje 𝑂𝑋.

Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales ⎧{ {⎨{ {⎩𝑥+(𝜆+1)𝑦+𝑧=1,𝜆𝑦+𝑧=0,𝜆𝑦+𝜆𝑧=𝜆.

1. Discútelo según los valores de 𝜆.
2. Resuélvelo para 𝜆 =0.
3. Determina, si existe, el valor de 𝜆 para el que hay una solución en la que 𝑧 =2. Calcula esa solución.

Considera un rectángulo de vértices consecutivos 𝐴, 𝐵, 𝐶 y 𝐷 siendo 𝐴(1,1,0) y 𝐵(2,2,1). Sabiendo que la recta 𝑟 que contiene a los puntos 𝐶 y 𝐷 pasa por el origen de coordenadas se pide:

1. Halla unas ecuaciones paramétricas de 𝑟.
2. Calcula el área del triángulo 𝐴𝐵𝐶.
3. Determina las coordenadas del punto 𝐷.