Matemáticas de Selectividad

Sea 𝑓 la función definida por 𝑓(𝑥)=𝑥ln⁡(𝑥) para 𝑥 >0, 𝑥 ≠1.

1. Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de 𝑓.
2. Calcula la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de 𝑓 en el punto de abscisa 𝑥 =𝑒.

Sea 𝑔 :(0, +∞) →ℝ la función definida por 𝑔(𝑥)=1𝑥+√𝑥. Determina la primitiva de 𝑔 cuya gráfica pasa por el punto 𝑃(1,0). Sugerencia: se puede usar el cambio de variable 𝑡 =√𝑥.

Sean 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝−21−3−1𝑚𝑚−2𝑚02⎞⎟ ⎟ ⎟⎠,𝐵=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝110⎞⎟ ⎟ ⎟⎠y𝑋=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝𝑥𝑦𝑧⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

1. Determina el rango de 𝐴 según los valores del parámetro 𝑚.
2. Discute el sistema 𝐴𝑋 =𝐵 según los valores del parámetro 𝑚.
3. Resuelve el sistema 𝐴𝑋 =𝐵 para 𝑚 =1.

Considera los puntos 𝐴(1,2,1), 𝐵( −1,0,2) y 𝐶(3,2,0) y el plano 𝜋 determinado por ellos.

1. Halla la ecuación de la recta 𝑟 que está contenida en 𝜋 y tal que 𝐴 y 𝐵 son simétricos respecto de 𝑟.
2. Calcula la distancia de 𝐴 a 𝑟.

Sea 𝑓 la función definida por 𝑓(𝑥)=𝑘(𝑥−𝑎)(2𝑥−1) para 𝑥 ≠𝑎 y 𝑥 ≠12.

1. Halla 𝑎 y 𝑘 sabiendo que la gráfica de 𝑓 pasa por el punto (0,2) y que la recta 𝑥 =2 es una asíntota de dicha gráfica.
2. Para 𝑘 =4 y 𝑎 =2, halla los extremos relativos de 𝑓 (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan) y sus intervalos de crecimiento y de decrecimiento.

Calcula ∫𝜋/20𝑥sen⁡(2𝑥)𝑑𝑥.

Sean 𝐴 y 𝐵 las matrices 𝐴=(2−3−35)y𝐵=(1−4−95).

1. Calcula las matrices 𝑋 e 𝑌 para las que 2𝑋 −𝑌 =𝐴 y 𝑋 −3𝑌 =𝐵.
2. Halla la matriz 𝑍 que verifica 𝐵2 +𝑍𝐴 +𝐵𝑡 =3𝐼.

Considera las rectas 𝑟 y 𝑠 dadas por 𝑟≡⎧{ {⎨{ {⎩𝑥=2−3𝜆,𝑦=3+5𝜆,𝑧=𝜆y𝑠≡{𝑥+𝑦−1=0,𝑧−5=0.

1. Determina la posición relativa de 𝑟 y 𝑠.
2. Calcula la distancia entre 𝑟 y 𝑠.