Matemáticas de Selectividad

Un rectángulo está inscrito en un semicírculo de √5 cm de radio, de forma que uno de sus lados está contenido en el diámetro del semicírculo y el lado opuesto tiene sus vértices sobre la semicircunferencia. Calcula las dimensiones del rectángulo sabiendo que es el de mayor perímetro posible.

Halla ∫𝑥+11+√𝑥𝑑𝑥. Sugerencia: se puede hacer el cambio de variable 𝑡 =√𝑥.

Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales: {𝑥−𝑦+𝑧=0,2𝑥+3𝑦−𝑧=3.

1. Determina el valor de 𝑚 para el que al añadir una ecuación 𝑥+𝑚𝑦+4𝑧=−3 al sistema anterior se obtenga un sistema con las mismas soluciones.
2. Calcula la solución del sistema para la que la suma de los valores de las incógnitas sea 6.

Del paralelogramo 𝐴𝐵𝐶𝐷 se conocen los vértices 𝐴( −1,0,3), 𝐵(2, −1,1) y 𝐶(3,2, −3).

1. Halla la ecuación del plano que contiene al paralelogramo.
2. Halla la ecuación de la recta que contiene a la diagonal 𝐴𝐶 del paralelogramo.
3. Calcula las coordenadas del vértice 𝐷.

Considera la función 𝑓 :ℝ →ℝ dada por 𝑓(𝑥) =𝑥3 +𝑎𝑥2 +𝑏𝑥 +𝑐. Determina 𝑎, 𝑏 y 𝑐 sabiendo que la recta normal a la gráfica de 𝑓 en el punto de abscisa 𝑥 =0 es 𝑦 +𝑥 = −3 y que el punto de inflexión tiene abscisa 𝑥 =1.

Sea 𝑔 :(0, +∞) →ℝ la función definida por 𝑔(𝑥) =|ln⁡(𝑥)|.

1. Esboza el recinto limitado por la gráfica de 𝑔 y la recta 𝑦 =1. Calcula los puntos de corte entre ellas.
2. Calcula el área del recinto anterior.

Considera las matrices 𝐴=(−1201)y𝐵=(1−110).

1. Calcula 𝑋 e 𝑌 tales que 𝑋 −𝑌 =𝐴𝑡 y 2𝑋 −𝑌 =𝐵.
2. Calcula 𝑍 tal que 𝐴𝑍 =𝐵𝑍 +𝐴.

Considera los puntos 𝐴(1,2,3) y 𝐵( −1,0,4).

1. Calcula las coordenadas de los puntos que dividen al segmento 𝐴𝐵 en tres partes iguales.
2. Halla la ecuación del plano que pasa por el punto 𝐴 y es perpendicular al segmento 𝐴𝐵.