Matemáticas de Selectividad

Dada la función 𝑓 :(0,2𝜋) →ℝ, definida por 𝑓(𝑥) =sen⁡(𝑥) +cos⁡(𝑥), calcula sus máximos y mímimos relativos y los puntos de inflexión de la gráfica de 𝑓 (abscisas en los que se obtienen y valores que se alcanzan).

Sea 𝑓 :ℝ →ℝ la función dada por 𝑓(𝑥)={−𝑥2+6𝑥−8,si 𝑥≤4,𝑥2−6𝑥+8,si 𝑥>4.

1. Calcula los puntos de corte entre la gráfica de 𝑓 y la recta 𝑦 =2𝑥 −4. Esboza el recinto que delimitan la gráfica de 𝑓 y la recta.
2. Calcula el área del recinto anterior.

Dadas las matrices 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1𝑚1𝑚−1𝑚0111⎞⎟ ⎟ ⎟⎠,𝐵=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝01𝑘⎞⎟ ⎟ ⎟⎠y𝑋=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝𝑥𝑦𝑧⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

1. Estudia el rango de 𝐴 según los valores de 𝑚.
2. Sabiendo que para 𝑚 =1 el sistema dado por 𝐴𝑋 =𝐵 tiene solución, encuentra 𝑘 y resuélvelo.

Considera la recta 𝑟≡𝑥−42=𝑦1=𝑧−15 y el plano 𝜋 ≡2𝑥 +𝑦 −𝑧 +3 =0.

1. Halla la ecuación general del plano perpendicular a 𝜋 que contiene a 𝑟.
2. Calcula la distancia entre 𝑟 y 𝜋.

Considera la función 𝑓 definida por 𝑓(𝑥)=𝑎𝑥+𝑏𝑐𝑥+1 para 𝑐𝑥 +1 ≠0. Determina 𝑎, 𝑏 y 𝑐 sabiendo que la recta 𝑥 = −1 es una asíntota vertical a la gráfica de 𝑓 y que 𝑦 =2𝑥 +4 es la recta tangente a la gráfica de 𝑓 en el punto de abscisa 𝑥 =1.

Considera la función 𝑓 :ℝ →ℝ dada por 𝑓(𝑥) = −4𝑥2 +𝑎, siendo 𝑎 >0 un número real. Esboza el recinto limitado por la gráfica de 𝑓 y la recta 𝑦 =0. Calcula 𝑎 sabiendo que el área del recinto es 18.

Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales. ⎧{ {⎨{ {⎩𝑚𝑥+(𝑚+1)𝑧=𝑚,𝑚𝑦+𝑧=𝑚,𝑦+𝑚𝑧=𝑚.

1. Discute el sistema según los valores de 𝑚.
2. Resuélvelo, si es posible, para 𝑚 =1.

Se consideran los puntos 𝐴(0, −1,3), 𝐵(2,3, −1) y la recta 𝑟≡𝑥+21=𝑦−22=𝑧−33.

1. Halla un punto 𝐶 de 𝑟 de forma que el triángulo 𝐴𝐵𝐶 sea rectángulo en 𝐴.
2. Calcula los puntos de 𝑟 que equidistan de los puntos 𝐴 y 𝐵.