Matemáticas de Selectividad

Sea 𝑓 :ℝ →ℝ la función dada por 𝑓(𝑥) =𝑎𝑥3 +𝑏𝑥2 +𝑐𝑥 +𝑑. Halla los coeficientes 𝑎, 𝑏, 𝑐 y 𝑑 sabiendo que 𝑓 presenta un extremo local en el punto de abscisa 𝑥 =0, que (1,0) es punto de inflexión de la gráfica de 𝑓 y que la pendiente de la recta tangente en dicho punto es -3.

Calcula el valor de 𝑎 >1 sabiendo que el área del recinto comprendido entre la parábola 𝑦 = −𝑥2 +𝑎𝑥 y la recta 𝑦 =𝑥 es 43.

Considera el sistema dado por 𝐴𝑋 =𝐵 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝𝛼2−101234𝛼⎞⎟ ⎟ ⎟⎠,𝐵=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1𝛼−23⎞⎟ ⎟ ⎟⎠y𝑋=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝𝑥𝑦𝑧⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

1. Determina, si existen, los valores de 𝛼 para los que el sistema tiene solución única.
2. Determina, si existen, los valores de 𝛼 para los que el sistema no tiene solución.
3. Determina, si existen, los valores de 𝛼 para los que el sistema tiene al menos dos soluciones. Halla todas las soluciones en dichos casos.

Considera los puntos 𝐵(1,2, −3), 𝐶(9, −1,2), 𝐷(5,0, −1) y la recta 𝑟≡{𝑥+𝑦+1=0,𝑦−𝑧=0.

1. Calcula el área del triángulo cuyos vértices son 𝐵, 𝐶 y 𝐷.
2. Halla un punto 𝐴 en la recta 𝑟 de forma que el triángulo 𝐴𝐵𝐶 sea rectángulo en 𝐴.

Sea 𝑓 :ℝ →ℝ la función definida por 𝑓(𝑥) =𝑥2 −|𝑥|.

1. Estudia la derivabilidad de 𝑓.
2. Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de 𝑓.
3. Calcula los extremos relativos de 𝑓 (extremos donde se obtienen y valores que se alcanzan).

Sea 𝑓 la función definida por 𝑓(𝑥)=𝑥2+1𝑥2(𝑥−1) para 𝑥 ≠0 y 𝑥 ≠1 y sea 𝐹 la primitiva de 𝑓 cuya gráfica pasa por el punto 𝑃(2,ln⁡(2)).

1. Calcula la recta tangente a la gráfica 𝐹 en el punto 𝑃.
2. Determina la función 𝐹.

Considera las matrices 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝111123149⎞⎟ ⎟ ⎟⎠y𝐵=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝−1111−1111−1⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

1. Halla la matriz 𝑋 que verifica 𝐴𝑋 −𝐵 =𝐼 (𝐼 denota la matriz identidad de orden 3).
2. Calcula el determinante de la matriz (𝐴2𝐵−1)2015.

Considera el punto 𝑃(1,0, −1) y la recta 𝑟 dada por {𝑥+𝑦=0,𝑧−1=0.

1. Halla la distancia de 𝑃 a 𝑟.
2. Determina la ecuación general del plano que pasa por 𝑃 y contiene a 𝑟.