Matemáticas de Selectividad

Dada la función 𝑓 :ℝ →ℝ definida por 𝑓(𝑥) =𝑎𝑥3 +𝑏𝑥2 +𝑐𝑥, determina 𝑎, 𝑏 y 𝑐 sabiendo que su gráfica tiene un punto de inflexión en (1,0) y que la recta tangente en ese punto tiene por ecuación 𝑦 = −3𝑥 +3.

Sean 𝑓 :ℝ →ℝ y 𝑔 :ℝ →ℝ las funciones definidas por: 𝑓(𝑥)=4−3|𝑥|y𝑔(𝑥)=𝑥2.

1. Esboza las gráficas de 𝑓 y 𝑔. Determina sus puntos de corte.
2. Calcula el área del recinto limitado por las gráficas de 𝑓 y 𝑔.

Sean 𝐴 y 𝐵 dos matrices que verifican: 𝐴+𝐵=(4232)y𝐴−𝐵=(24−12).

1. Halla las matrices (𝐴+𝐵)(𝐴−𝐵)y𝐴2−𝐵2.
2. Resuelve la ecuación matricial 𝑋𝐴−𝑋𝐵−(𝐴+𝐵)𝑡=2𝐼.

Sea el punto 𝑃(2,3, −1) y la recta 𝑟 dada por las ecuaciones ⎧{ {⎨{ {⎩𝑥=1,𝑦=−2𝜆,𝑧=𝜆.

1. Halla la ecuación del plano perpendicular a 𝑟 que pasa por 𝑃.
2. Calcula la distancia del punto 𝑃 a la recta 𝑟 y determina el punto simétrico de 𝑃 respecto de 𝑟.

En el primer cuadrante representamos un rectángulo de tal manera que tiene un vertice en el origen de coordenadas y el vertice opuesto en la parábola 𝑦 = −𝑥2 +3. Determina las dimensiones del rectángulo para que su área sea máxima.

Calcula: ∫𝜋20𝑥cos⁡(𝑥)𝑑𝑥.

Sea la matriz 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝30𝜆−5𝜆−5𝜆03⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

1. Determina los valores de 𝜆 para los que la matriz 𝐴 −2𝐼 tiene inversa.
2. Para 𝜆 = −2, resuelve la ecuación matricial 𝐴𝑋 =2𝑋 +𝐼.

Considera los planos 𝜋1 y 𝜋2 dados respectivamente por las ecuaciones (𝑥,𝑦,𝑧)=(−2,0,7)+𝜆(1,−2,0)+𝜇(0,1,−1)y2𝑥+𝑦−𝑧+5=0. Determina los puntos de la recta 𝑟 definida por 𝑥=𝑦+1=𝑧−1−3 que equidistan de 𝜋1 y 𝜋2.