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📋 Reserva 2 de 2019

Ejercicio A1

Se considera la función 𝑓 :( −2𝜋,2𝜋) →ℝ definida por 𝑓(𝑥)=cos⁡(𝑥)2+cos⁡(𝑥).

  1. Calcula sus intervalos de crecimiento y de decrecimiento.
  2. Halla sus máximos y sus mínimos relativos (abscisas en los que se obtienen y valores que se alcanzan).

Ejercicio A2

Sea 𝑓 la función definida por 𝑓(𝑥)=𝑥4𝑥2−1 para 𝑥 ≠ −1,1.

  1. Halla todas las funciones primitivas de 𝑓.
  2. Calcula la primitiva que pasa por (2,0).

Ejercicio A3

Considera la matriz 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝𝑎𝑏𝑐𝑑𝑒𝑓𝑔ℎ𝑖⎞⎟ ⎟ ⎟⎠ de la que se sabe que tiene determinante 5.

  1. Calcula, indicando las propiedades que utilices, los determinantes de las matrices siguientes: 3𝐴y⎛⎜ ⎜ ⎜⎝2𝑎𝑑+3𝑎𝑔2𝑏𝑒+3𝑏ℎ2𝑐𝑓+3𝑐𝑖⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.
  2. Si 𝐵 es otra matriz cuadrada de orden 3 y tiene determinante 4, calcula, indicando también las propiedades que utilices, el determinante de la matriz 𝐵𝐴−1.

Resolución
    • Calculamos el determinante. Como 𝐴 es de orden 3, |3𝐴|=33⋅|𝐴|=27⋅5=135.
    • Calculamos el determinante. ∣2𝑎𝑑+3𝑎𝑔2𝑏𝑒+3𝑏ℎ2𝑐𝑓+3𝑐𝑖∣=∣2𝑎𝑑𝑔2𝑏𝑒ℎ2𝑐𝑓𝑖∣+∣2𝑎3𝑎𝑔2𝑏3𝑏ℎ2𝑐3𝑐𝑖∣=∣2𝑎𝑑𝑔2𝑏𝑒ℎ2𝑐𝑓𝑖∣=2∣𝑎𝑑𝑔𝑏𝑒ℎ𝑐𝑓𝑖∣=2∣𝑎𝑏𝑐𝑑𝑒𝑓𝑔ℎ𝑖∣=2⋅5=10.
  2. Calculamos el determinante. |𝐵𝐴−1|=|𝐵|⋅|𝐴|−1=4⋅15=45.

Ejercicio A4

Sea 𝑟 la recta que pasa por el punto 𝑃(2, −2, −1) con vector director ⃗𝑣 =(𝑘,3 +𝑘, −2𝑘) y sea 𝜋 el plano de ecuación −𝑥 +2𝑦 +2𝑧 −1 =0.

  1. Calcula el valor de 𝑘 para que 𝑟 sea paralela a 𝜋.
  2. Calcula el valor de 𝑘 para que 𝑟 sea perpendicular a 𝜋.
  3. Para 𝑘 = −1, calcula los puntos de 𝑟 que distan 3 unidades de 𝜋.

Ejercicio B1

Se sabe que la gráfica de la función 𝑓 :ℝ →ℝ, dada por 𝑓(𝑥) =2𝑥3 +𝑎𝑥2 +𝑏𝑥 +𝑐, tiene un punto de inflexión para 𝑥 =1 y que la ecuación de la recta tangente a dicha gráfica en ese punto es 𝑦 = −6𝑥 +6. Calcula 𝑎, 𝑏 y 𝑐.

Resolución

En primer lugar, calculamos la primera y la segunda derivada de 𝑓. 𝑓′(𝑥)=6𝑥2+2𝑎𝑥+𝑏,𝑓″(𝑥)=12𝑥+2𝑎.

Como 𝑓 tiene un punto de inflexión en 𝑥 =1, 𝑓″(1)=0⇔12+2𝑎=0⇔𝑎=−6.

La pendiente de la recta tangente en 𝑥 =1 es -6, así que 𝑓′(1)=−6⇔6+2𝑎+𝑏=−6𝑎=−6←←←←←←←←←→6−12+𝑏=−6⇔𝑏=0. Como además la ecuación de la recta es 𝑦 = −6𝑥 +6, si 𝑥 =1 entonces 𝑦=−6⋅1+6=0. Así que el punto de tangencia es (1,0). Por tanto, 𝑓(1)=0⇔2+𝑎+𝑏+𝑐=0𝑎=−6←←←←←←←←←→𝑏=02−6+𝑐=0⇔𝑐=4.

Luego 𝑎 = −6, 𝑏 =0 y 𝑐 =4.

Ejercicio B2

Considera las funciones 𝑓,𝑔 :[ −𝜋,𝜋] →ℝ definidas por 𝑓(𝑥) =cos⁡(𝑥) y 𝑔(𝑥) =sen⁡(𝑥).

  1. Esboza sus gráficas en unos mismos ejes coordenados y calcula sus puntos de corte.
  2. Calcula el área del recinto delimitado por las gráficas de 𝑓 y de 𝑔 en el intervalo [−3𝜋4,𝜋4].

Ejercicio B3

Dadas las matrices 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝𝑎111𝑎111𝑎⎞⎟ ⎟ ⎟⎠y𝑋=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝𝑥𝑦𝑧⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

  1. Encuentra los valores de 𝑎 para los que el sistema dado por 𝐴𝑋 =2𝑋 tiene infinitas soluciones.
  2. Para 𝑎 =0, si es posible, resuelve 𝐴𝑋 =2𝑋.

Resolución
  1. Podemos expresar el sistema de la forma 𝐴𝑋=2𝑋⇔𝐴𝑋−2𝑋=0⇔(𝐴−2𝐼)𝑋=0. Observamos que se trata de un sistema homogéneo con matriz de coeficientes, así que es compatible. La matriz de coeficientes del sistema es 𝐴−2𝐼=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝𝑎−2111𝑎−2111𝑎−2⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Para que el sistema sea compatible indeterminado necesitamos que el rango de 𝐴 −2𝐼 de sea menor que el número de incógnitas. Es decir, su determinante ha de ser nulo.
    Calculamos el determinante de 𝐴 −2𝐼. |𝐴−2𝐼|=∣𝑎−2111𝑎−2111𝑎−2∣=(𝑎−2)3+2−3(𝑎−2)==𝑎3−6𝑎2+12𝑎−8+2−3𝑎+6=𝑎3−6𝑎2+9𝑎. Así que |𝐴−2𝐼|=0⇔𝑎3−6𝑎2+9𝑎=0⇔𝑎(𝑎2−6𝑎+9)=0⇔{𝑎=0,𝑎2−6𝑎+9=0⇔𝑎=3. Por tanto, para 𝑎 =0 y 𝑎 =3 el sistema tiene infinitas soluciones.
  2. Si 𝑎 =0, el sistema es compatible indeterminado por el apartado anterior y su matriz de coeficientes es 𝐴−2𝐼=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝−2111−2111−2⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Observamos que ∣−211−2∣=3≠0⇒rang⁡(𝐴−2𝐼)=2. Así que el sistema se puede reducir a {−2𝑥+𝑦+𝑧=0,𝑥−2𝑦+𝑧=0. Resolvemos el sistema por reducción. Si restamos ambas ecuaciones, obtenemos que −3𝑥+3𝑦=0⇔𝑥=𝑦. Sustituyendo en la primera ecuación, −2𝑥+𝑦+𝑧=0⇔𝑧=2𝑥−𝑦𝑥=𝑦←←←←←←←→𝑧=𝑥. Si tomamos 𝑥 =𝜆, la solución del sistema es ⎧{ {⎨{ {⎩𝑥=𝜆,𝑦=𝜆,𝑧=𝜆,𝜆∈ℝ.

Ejercicio B4

Considera el punto 𝑃( −5,3,1) y la recta 𝑟≡𝑥2=𝑦−32=𝑧−2−1.

  1. Calcula la ecuación general del plano que pasa por 𝑃 y contiene a 𝑟.
  2. Calcula la ecuación de la recta que pasa por 𝑃 y corta perpendicularmente a 𝑟.