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📋 Septiembre de 2020

Ejercicio 1

Considera la función 𝑓 :ℝ →ℝ dada por 𝑓(𝑥) =𝑒𝑥(𝑥2 −5𝑥 +6). Determina los intervalos de concavidad y de convexidad de 𝑓 y los puntos de inflexión de su gráfica.

Resolución

En primer lugar, calculamos la primera y la segunda derivada de 𝑓. 𝑓′(𝑥)=𝑒𝑥(𝑥2−5𝑥+6)+𝑒𝑥(2𝑥−5)=𝑒𝑥(𝑥2−3𝑥+1),𝑓″(𝑥)=𝑒𝑥(𝑥2−3𝑥+1)+𝑒𝑥(2𝑥−3)=𝑒𝑥(𝑥2−𝑥−2).

Para hallar los candidatos a puntos de inflexión, igualamos la segunda derivada a cero. 𝑓″(𝑥)=0⇔𝑒𝑥(𝑥2−𝑥−2)=0⇔𝑥2−𝑥−2=0⇔{𝑥=−1,𝑥=2. Estudiamos el signo de la segunda derivada.

( −∞, −1) ( −1,2) (2, +∞)
signo de 𝑓″ + − +
curvatura de 𝑓 ⌣ ⌢ ⌣

Por tanto, 𝑓 es convexa en ( −∞, −1) ∪(2, +∞) y cóncava en ( −1,2). Además, (−1,12𝑒) y (2,0) son puntos de inflexión.

Ejercicio 2

Calcula ∫𝜋0𝑥sen2⁡(𝑥)𝑑𝑥.

Resolución

En primer lugar, hallamos una primitiva de la función. Para resolver esta integral, usamos las relaciones trigonométricas {cos2⁡(𝑥)+sen2⁡(𝑥)=1⇔cos2⁡(𝑥)=1−sen2⁡(𝑥),cos⁡(2𝑥)=cos2⁡(𝑥)−sen2⁡(𝑥). Sustituyendo en la segunda identidad, cos⁡(2𝑥)=cos2⁡(𝑥)−sen2⁡(𝑥)⇔cos⁡(2𝑥)=1−2sen2⁡(𝑥)⇔sen2⁡(𝑥)=1−cos⁡(2𝑥)2. De esta forma, ∫𝑥sen⁡(𝑥)𝑑𝑥=∫𝑥1−cos⁡(2𝑥)2𝑑𝑥=12∫𝑥𝑑𝑥−12∫𝑥cos⁡(2𝑥)𝑑𝑥=14𝑥2−12∫𝑥cos⁡(2𝑥)𝑑𝑥. Resolvemos la integral por partes. 𝑢=𝑥⇒𝑢′=1,𝑣′=cos⁡(2𝑥)⇒𝑣=12sen⁡(2𝑥). Entonces: 14𝑥2−12∫𝑥cos⁡(2𝑥)𝑑𝑥=14𝑥2−12(12𝑥sen⁡(2𝑥)−12∫sen⁡(2𝑥)𝑑𝑥)=14𝑥2−14𝑥sen⁡(2𝑥)−18cos⁡(2𝑥).

Por último, calculamos la integral definida. ∫𝜋0𝑥sen⁡(𝑥)𝑑𝑥=[14𝑥2−14𝑥sen⁡(2𝑥)−18cos⁡(2𝑥)]𝜋0=𝜋24−18−(−18)=𝜋24.

Ejercicio 3

Considera el sistema de ecuaciones dado por 𝐴𝑋 =𝐵 siendo 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1−21𝑚4−20𝑚+2−3⎞⎟ ⎟ ⎟⎠,𝑋=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝𝑥𝑦𝑧⎞⎟ ⎟ ⎟⎠y𝐵=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝22𝑚1⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

  1. Discute el sistema según los valores de 𝑚.
  2. Para 𝑚 = −2, ¿existe alguna solución con 𝑧 =0? En caso afirmativo, calcúlala. En caso negativo, justifica la respuesta.

Resolución
  1. En primer lugar, observamos que: ∣110−3∣=−3≠0⇒rang⁡(𝐴)≥2. Para determinar el rango de 𝐴 en función del valor de 𝑚, estudiamos su determinante. |𝐴|=∣1−21𝑚4−20𝑚+2−3∣=−12+𝑚2+2𝑚−6𝑚+2𝑚+4=𝑚2−2𝑚−8. Observamos que: |𝐴|=0⇔𝑚2−2𝑚−8=0⇔{𝑚=−2,𝑚=4.
    • Si 𝑚 ≠ −2 y 𝑚 ≠4, entonces rang⁡(𝐴) =3. Como el rango de la matriz de coeficientes es máximo, el sistema es compatible determinado.
    • Si 𝑚 = −2, entonces rang⁡(𝐴) =2. La matriz de coeficientes ampliada es: 𝐴∗=⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝1−212−24−2−400−31⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠. Observamos que las dos primeras filas son proporcionales, así que rang⁡(𝐴∗) =2. Como rang⁡(𝐴) =rang⁡(𝐴∗) =2 <3, el sistema es compatible indeterminado.
    • Si 𝑚 =4, entonces rang⁡(𝐴) =2. La matriz de coeficientes ampliada es: 𝐴∗=⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝1−21244−2806−31⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠. Observamos que: ∣1124−280−31∣=−6≠0⇒rang⁡(𝐴∗)=3. Como rang⁡(𝐴) ≠rang⁡(𝐴∗), el sistema es incompatible.
  2. Si 𝑚 = −2, el sistema es compatible indeterminado por el apartado anterior. Podemos reducir el sistema a: {𝑥−2𝑦+𝑧=2,−3𝑧=1. Si tomamos 𝑦 =𝜆, entonces: −3𝑧=1⇔𝑧=−13,𝑥−2𝑦+𝑧=2⇔𝑥=2+2𝑦−𝑧𝑦=𝜆←←←←←←←←←→𝑧=−1/3𝑥=73+2𝜆. Por tanto, las soluciones del sistema son de la forma: ⎧{ {⎨{ {⎩𝑥=73+2𝜆,𝑦=𝜆,𝑧=−13,𝜆∈ℝ. Observamos que no existe ninguna solución con 𝑧 =0.

Ejercicio 4

Considera el plano 𝜋 ≡𝑥 −𝑦 +𝑎𝑧 =0 y la recta 𝑟≡{4𝑥−3𝑦+4𝑧=1,3𝑥−2𝑦+𝑧=0.

  1. Halla 𝑎 sabiendo que 𝜋 es paralelo a 𝑟.
  2. Determina el plano perpendicular a 𝑟 que pasa por el punto 𝑃(1,2,3).

Resolución
  1. En primer lugar, hallamos el vector director de la recta 𝑟. ⃗𝑑𝑟=(4,−3,4)×(3,−2,1)=∣⃗𝑥⃗𝑦⃗𝑧4−343−21∣=(5,8,1). Además, el vector normal de 𝜋 es ⃗𝑛𝜋 =(1, −1,𝑎). Como 𝜋 es paralelo a 𝑟, ha de verificarse que: ⃗𝑑𝑟⋅⃗𝑛𝜋=0⇔5−8+𝑎=0⇔𝑎=3.
  2. Llamamos 𝜏 al plano que nos piden. Como 𝜏 es perpendicular a 𝑟, ⃗𝑛𝜏 =⃗𝑑𝑟 =(5,8,1). Además, el punto 𝑃(1,2,3) pertenece al plano. Por tanto, la ecuación del plano 𝜏 es: 𝜏≡5(𝑥−1)+8(𝑦−2)+𝑧−3=0⇔5𝑥+8𝑦+𝑧−24=0.

Ejercicio 5

Sea la función derivable 𝑓 :ℝ →ℝ definida por 𝑓(𝑥)={𝑒2𝑎𝑥−4𝑏,si 𝑥<1,1−𝑥ln⁡(𝑥),si 𝑥≥1.

  1. Determina los valores de 𝑎 y 𝑏.
  2. Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de 𝑓 en el punto de abscisa 𝑥 =2.

Resolución
    • Si 𝑥 ≠1, 𝑓 es continua y derivable para cualquier valor de 𝑎 y 𝑏 con: 𝑓′(𝑥)={2𝑎𝑒2𝑎𝑥−4𝑏,si 𝑥<1,−ln⁡(𝑥)−1,si 𝑥>1.
    • Estudiamos la continuidad y la derivabilidad en el punto de ruptura 𝑥 =1.
      • Estudiamos la continuidad. lím𝑥→1−⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→1−⁡𝑒2𝑎𝑥−4𝑏=𝑒2𝑎−4𝑏,lím𝑥→1+⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→1+⁡(1−𝑥ln⁡(𝑥))=1,𝑓(1)=1. Para que 𝑓 sea continua, ha de verificarse que: lím𝑥→1−⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→1+⁡𝑓(𝑥)=𝑓(1)⇔𝑒2𝑎−4𝑏=1⇔2𝑎−4𝑏=0⇔𝑎=2𝑏.
      • Estudiamos la derivabilidad. 𝑓′−(1)=lím𝑥→1−⁡𝑓′(𝑥)=lím𝑥→1−⁡2𝑎𝑒2𝑎𝑥−4𝑏=2𝑎𝑒2𝑎−4𝑏,𝑓′+(1)=lím𝑥→1+⁡𝑓′(𝑥)=lím𝑥→1+⁡(−ln⁡(𝑥)−1)=−1. Para que 𝑓 sea derivable, ha de verificarse que: 𝑓′−(1)=𝑓′+(1)⇔2𝑎𝑒2𝑎−4𝑏=−1.
    Con estas dos condiciones, planteamos el sistema de ecuaciones: {𝑎=2𝑏,2𝑎𝑒2𝑎−4𝑏=−1. Sustituyendo en la segunda ecuación, 4𝑏=−1⇔𝑏=−14⇒𝑎=−12. Por tanto, 𝑎 = −12 y 𝑏 = −14.
  2. La ecuación de la recta tangente en 𝑥 =2 viene dada por: 𝑦−𝑓(2)=𝑓′(2)(𝑥−2)⇔𝑦−1+2ln⁡(2)=(−ln⁡(2)−1)(𝑥−2)⇔⇔𝑦=−(ln⁡(2)+1)𝑥+2ln⁡(2)+2−2ln⁡(2)+1⇔𝑦=−(ln⁡(2)+1)𝑥+3.

Ejercicio 6

Considera las funciones 𝑓,𝑔 :ℝ →ℝ definidas por 𝑓(𝑥) =|𝑥| y 𝑔(𝑥) =𝑥2 −2.

  1. Calcula los puntos de corte de las gráficas de 𝑓 y 𝑔. Esboza el recinto que determinan.
  2. Determina el área del recinto anterior.

Resolución
  1. Hallamos los puntos de corte de las dos funciones. 𝑓(𝑥)=𝑔(𝑥)⇔|𝑥|=𝑥2−2⇔⎧{ { {⎨{ { {⎩𝑥=𝑥2−2⇔𝑥2−𝑥−2=0⇔{𝑥=−1 (no válida),𝑥=2,−𝑥=𝑥2−2⇔𝑥2+𝑥−2=0⇔{𝑥=−2,𝑥=1 (no válida). Por tanto, los puntos de corte son ( −2,2) y (2,2). Representamos el recinto delimitado por ambas funciones. Figura
  2. Como el recinto es simétrico, podemos calcular el área como: 2∫20(𝑓(𝑥)−𝑔(𝑥))𝑑𝑥=2∫20(𝑥−(𝑥2−2))𝑑𝑥=2∫20(−𝑥2+𝑥+2)𝑑𝑥=2[−13𝑥3+12𝑥2+2𝑥]20==2(−83+2+4)=203𝑢2.

Ejercicio 7

Considera 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝123002011⎞⎟ ⎟ ⎟⎠y𝑋=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝𝑥𝑦𝑧⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

  1. Halla los valores de 𝜆 tales que |𝐴 −𝜆𝐼| =0, donde 𝐼 es la matriz identidad de orden 3.
  2. Para 𝜆 =1, resuelve el sistema dado por (𝐴 −𝜆𝐼)𝑋 =0. ¿Existe alguna solución tal que 𝑧 =1? En caso afirmativo, calcúlala. En caso negativo, justifica la respuesta.

Resolución
  1. En primer lugar, hallamos la matriz 𝐴 −𝜆𝐼. 𝐴−𝜆𝐼=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝123002011⎞⎟ ⎟ ⎟⎠−⎛⎜ ⎜ ⎜⎝𝜆000𝜆000𝜆⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1−𝜆230−𝜆2011−𝜆⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Calculamos su determinante. |𝐴−𝜆𝐼|=∣1−𝜆230−𝜆2011−𝜆∣=−𝜆(1−𝜆)−2(1−𝜆)=−(𝜆+2)(1−𝜆). Observamos que: |𝐴−𝜆𝐼|=0⇔−(𝜆+2)(1−𝜆)=0⇔{𝜆=−2,𝜆=1.
  2. Si 𝜆 =1, la matriz 𝐴 −𝜆𝐼 es: 𝐴−𝐼=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝0230−12010⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Sabemos que rang⁡(𝐴 −𝐼) ≤2 por el apartado anterior. Además, observamos que: ∣−1210∣=−2≠0⇒rang⁡(𝐴−𝐼)=2. Como se trata de un sistema homogéneo, es compatible indeterminado. Podemos reducir el sistema a: {−𝑦+2𝑧=0,𝑦=0. Despejando y sustituyendo, obtenemos que: −𝑦+2𝑧=0⇔𝑧=𝑦2𝑦=0←←←←←→𝑧=0. Si tomamos 𝑥 =𝜇, las soluciones del sistema son de la forma: ⎧{ {⎨{ {⎩𝑥=𝜇,𝑦=0,𝑧=0,𝜇∈ℝ. Observamos que no existe ninguna solución con 𝑧 =1.

Ejercicio 8

Considera el plano 𝜋 ≡𝑥 −𝑦 +𝑧 =2 y la recta 𝑟≡𝑥2=𝑦+11=𝑧+2−1.

  1. Calcula la distancia entre 𝑟 y 𝜋.
  2. Halla la ecuación general del plano perpendicular a 𝜋 que contiene a 𝑟.

Resolución
  1. El vector normal del plano es ⃗𝑛𝜋 =(1, −1,1) y el vector director de la recta es ⃗𝑑𝑟 =(2,1, −1). En primer lugar, observamos que: ⃗𝑛𝜋⋅⃗𝑑𝑟=(1,−1,1)⋅(2,1,−1)=0⇒𝜋∥𝑟. Como 𝑃(0, −1, −2) es un punto de 𝑟, la distancia se puede calcular como: dist⁡(𝑟,𝜋)=dist⁡(𝑃,𝜋)=|1−2−2||⃗𝑛𝜋|=3√3=√3𝑢.
  2. Llamamos 𝜏 al plano que nos piden. Como 𝜏 es perpendicular a 𝜋 y contiene a 𝑟, entonces ⃗𝑛𝜋 y ⃗𝑑𝑟 son vectores directores del plano 𝜏. Así que el vector normal de 𝜏 viene dado por: ⃗𝑛𝜏=⃗𝑛𝜋×⃗𝑑𝑟=∣⃗𝑥⃗𝑦⃗𝑧1−1121−1∣=(0,3,3). Además, el punto 𝑃(0, −1, −2) pertenece a 𝜏 por ser un punto de 𝑟. Por tanto, la ecuación del plano 𝜏 es: 𝜏≡3(𝑦+1)+3(𝑧+2)=0⇔3𝑦+3𝑧+9=0⇔𝑥+𝑧+3=0.