Matemáticas de Selectividad

Se necesita construir un depósito cilíndrico, con tapas inferior y superior, con capacidad de 20𝜋 m³. El material para las tapas cuesta 10 euros cada m² y el material para el resto del cilindro 8 euros cada m². Calcula, si existe, el radio de las tapas y la altura del cilindro que hace que el coste total sea mínimo.

Sea 𝐼=∫8012+√𝑥+1𝑑𝑥.

1. Expresa 𝐼 aplicando el cambio de variable 𝑡 =2 +√𝑥+1.
2. Calcula el valor de 𝐼.

Considera la matriz 𝐴=(2−1−10).

1. Comprueba que 𝐴𝐴𝑡 −2𝐴 =𝐼.
2. Calcula 𝐴−1.
3. Determina, si existe, la matriz 𝑋 que verifica 𝑋𝐴 +𝐼 =3𝐴.

Considera los puntos 𝐴( −1, −2, −1) y 𝐵(1,0,1).

1. Determina la ecuación del plano respecto del cual los puntos 𝐴 y 𝐵 son simétricos.
2. Calcula la distancia de 𝑃( −1,0,1) a la recta que pasa por los puntos 𝐴 y 𝐵.

Considera la función 𝑓 :ℝ →ℝ dada por 𝑓(𝑥) =𝑎𝑥3 +𝑏𝑥2 +𝑐𝑥 +𝑑. Calcula 𝑎, 𝑏, 𝑐 y 𝑑 sabiendo que 𝑓 tiene un extremo relativo en (0,1) y su gráfica un punto de inflexión en (1, −1).

Considera la región limitada por la gráfica de la función dada por 𝑓(𝑥) =√2𝑥−2 para 𝑥 ≥1, la recta 𝑦 =𝑥 −5 y el eje de abscisas.

1. Esboza la gráfica de la región dada, hallando los puntos de corte entre la gráfica de 𝑓 y las rectas.
2. Expresa mediante integrales el área del recinto anterior.
3. Calcula el área.

Sea 𝐴 una matriz 3 ×3 tal que det(2𝐴) =8.

1. ¿Cuánto vale det(𝐴)?
2. Siendo 𝐵 la matriz que se obtiene de 𝐴 multiplicando por 3 la primera fila y por -1 la tercera, ¿cuánto vale det(𝐵)?
3. Determina los valores de 𝑥 para los que la siguiente matriz 𝐴 verifica que det(2𝐴) =8: 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝𝑥11𝑥+122𝑥−𝑥+21⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

Considera los puntos 𝐴(1,1,1), 𝐵(0, −2,2), 𝐶( −1,0,2) y 𝐷(2, −1, −2).

1. Calcula el volumen del tetraedro de vértices 𝐴, 𝐵, 𝐶 y 𝐷.
2. Determina la ecuación de la recta que pasa por 𝐷 y es perpendicular al plano determinado por los puntos 𝐴, 𝐵 y 𝐶.