Matemáticas de Selectividad

Sea 𝑓 :ℝ →ℝ definida por 𝑓(𝑥) =𝑥3 +𝑎𝑥2 +𝑏𝑥 +𝑐.

1. Halla 𝑎, 𝑏 y 𝑐 para que la gráfica de 𝑓 tenga un punto de inflexión de abscisa 𝑥 =12 y que la recta tangente en el punto de abscisa 𝑥 =0 tenga por ecuación 𝑦 =5 −6𝑥.
2. Para 𝑎 =3, 𝑏 = −9 y 𝑐 =8, calcula los extremos relativos de 𝑓 (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

Sean 𝑓 :ℝ →ℝ y 𝑔 :ℝ →ℝ las funciones definidas respectivamente por 𝑓(𝑥)=|𝑥|2y𝑔(𝑥)=11+𝑥2.

1. Esboza las gráficas de 𝑓 y 𝑔 sobre los mismos ejes y calcula los puntos de corte entre ambas gráficas.
2. Calcula el área del recinto limitado por las gráficas de 𝑓 y 𝑔.

Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales. {𝑥+2𝑦−3𝑧=3,2𝑥+3𝑦+𝑧=5.

1. Calcula 𝛼 de manera que al añadir una tercera ecuación de la forma 𝛼𝑥 +𝑦 −7𝑧 =1 el sistema resultante tenga las mismas soluciones que el original.
2. Calcula las soluciones del sistema dado tales que la suma de los valores de las incógnitas sea 4.

Considera la recta 𝑟 que pasa por los puntos 𝐴(1,0, −1) y 𝐵( −1,1,0).

1. Halla la ecuación de la recta 𝑠 paralela a 𝑟 que pasa por 𝐶( −2,3,2).
2. Calcula la distancia de 𝑟 a 𝑠.

Se desea construir un depósito en forma de cilindro recto, con base circular y sin tapadera, que tenga una capacidad de 125 m³. Halla el radio de la base y la altura que debe tener el depósito para que la superficie sea mínima.

Sea 𝑓 la función definida por 𝑓(𝑥) =𝑥ln⁡(𝑥 +1) para 𝑥 > −1. Determina la primitiva de 𝑓 cuya gráfica pasa por el punto (1,0).

Considera las matrices 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝011100001⎞⎟ ⎟ ⎟⎠y𝐵=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1−111−10−123⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Determina, si existe, la matriz 𝑋 que verifica 𝐴𝑋 +𝐵 =𝐴2.

Sea 𝑟 la recta definida por {𝑥+2𝑦−𝑧=3,2𝑥−𝑦+𝑧=1.

1. Determina la ecuación general del plano que contiene a 𝑟 y pasa por el origen de coordenadas.
2. Halla las ecuaciones paramétricas del plano que corta perpendicularmente a 𝑟 en el punto (1,1,0).