Matemáticas de Selectividad

Sea 𝑔 la función definida por 𝑔(𝑥)=𝑚𝑥3(𝑥−𝑛)2 para 𝑥 ≠𝑛.

1. Halla 𝑚 y 𝑛 sabiendo que la recta 𝑦 =2𝑥 −4 es una asíntota de la gráfica de 𝑔.
2. Determina si la gráfica de 𝑔 es simétrica respecto al origen.

De la función 𝑓 :ℝ →ℝ definida por 𝑓(𝑥) =𝑎𝑥3 +𝑏𝑥2 +𝑐𝑥 +𝑑 se sabe que alcanza un máximo relativo en 𝑥 =1, que la gráfica tiene un punto de inflexión en (0,0) y que ∫10𝑓(𝑥)𝑑𝑥 =54. Calcula 𝑎, 𝑏, 𝑐 y 𝑑.

Considera las matrices 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝−110200101⎞⎟ ⎟ ⎟⎠,𝐵=(021120)y𝐶=(12−16).

1. Halla 𝐴−1.
2. Calcula la matriz 𝑋 que satisface 𝐴𝑋 =𝐵𝑡𝐶.
3. Halla el determinante de 𝐴2013𝐵𝑡𝐵(𝐴−1)2013.

Calcula la distancia entre las rectas 𝑟≡𝑥=𝑦=𝑧y𝑠≡𝑥−1=𝑦−2=𝑧−3.

Sea 𝑓 :ℝ →ℝ la función definida por 𝑓(𝑥) =𝑥3 +𝑎𝑥2 +𝑏𝑥 +𝑐. Se sabe que un punto de inflexión de la gráfica de 𝑓 tiene abscisa 𝑥 =1 y que 𝑓 tiene un mínimo relativo en 𝑥 =2 de valor -9. Calcula 𝑎, 𝑏 y 𝑐.

Calcula ∫42𝑥2𝑥2−6𝑥+5𝑑𝑥.

Sabiendo que el determinante de una matriz 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝𝑎𝑏𝑐𝑑𝑒𝑓𝑝𝑞𝑟⎞⎟ ⎟ ⎟⎠ es 4, calcula los siguientes determinantes indicando, en cada caso, las propiedades que utilizas.

1. det( −2𝐴) y det(𝐴−1).
2. ∣𝑎−𝑏𝑐2𝑑−2𝑒2𝑓𝑝−𝑞𝑟∣y∣−3𝑑−3𝑒−3𝑓𝑎𝑏𝑐−𝑝−𝑞−𝑟∣.

Considera las rectas 𝑟≡𝑥=𝑦=𝑧,𝑠≡{𝑥=2,𝑦=1y𝑡≡⎧{ {⎨{ {⎩𝑥=1+2𝜆,𝑦=3𝜆,𝑧=−1+𝜆. Halla la recta que corta a 𝑟 y a 𝑠 y es paralela a 𝑡.