Matemáticas de Selectividad

Un alambre de 10 metros de longitud se divide en dos trozos. Con uno de ellos se forma un triángulo equilátero y con el otro un cuadrado. Halla la longitud de dichos trozos para que la suma de las áreas sea mínima.

1. Determina la función 𝑓 :ℝ →ℝ tal que 𝑓′(𝑥) =(2𝑥 +1)𝑒−𝑥 y su gráfica pasa por el origen de coordenadas.
2. Calcula la recta tangente a la gráfica de 𝑓 en el punto de abscisa 𝑥 =0.

Considera las matrices 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝101110002⎞⎟ ⎟ ⎟⎠y𝐵=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝−1111−1100−1⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

1. Halla, si es posible, 𝐴−1 y 𝐵−1.
2. Halla el determinante de 𝐴𝐵2013𝐴𝑡.
3. Calcula la matriz 𝑋 que satisface 𝐴𝑋 −𝐵 =𝐴𝐵.

Considera el plano 𝜋 de ecuación 2𝑥 +𝑦 +3𝑧 −6 =0.

1. Calcula el área del triángulo cuyos vértices son los puntos de corte del plano 𝜋 con los ejes coordenados.
2. Calcula el volumen del tetraedro determinado por el plano 𝜋 y los planos coordenados.

Sea 𝑓 :(0, +∞) →ℝ la función definida por 𝑓(𝑥)=2ln⁡(𝑥)𝑥2.

1. Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los extremos relativos de 𝑓 (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).
2. Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de 𝑓.

Sea 𝑔 :ℝ →ℝ la función definida por 𝑔(𝑥) = −𝑥2 +6𝑥 −5.

1. Halla la ecuación de la recta normal a la gráfica de 𝑔 en el punto de abscisa 𝑥 =4.
2. Esboza el recinto limitado por la gráfica de 𝑔 y la recta 𝑥 −2𝑦 +2 =0. Calcula el área de este recinto.

Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales: ⎧{ {⎨{ {⎩2𝑥−4𝑦+6𝑧=6,𝑚𝑦+2𝑧=𝑚+1,−3𝑥+6𝑦−3𝑚𝑧=−9.

1. Discute el sistema según los valores del parámetro 𝑚.
2. Resuélvelo para 𝑚 =3. Para dicho valor de 𝑚, calcula, si es posible, una solución en la que 𝑦 =0.

Considera los puntos 𝐴(1,0,2), 𝐵( −1,3,1), 𝐶(2,1,2) y 𝐷(1,0,4).

1. Halla la ecuación del plano que contiene a 𝐴, 𝐵 y 𝐶.
2. Halla el punto simétrico de 𝐷 respecto del plano 𝑥 −𝑦 −5𝑧 +9 =0.