Matemáticas de Selectividad

Sea 𝑓 la función definida por 𝑓(𝑥)=𝑒𝑥𝑥−1 para 𝑥 ≠1.

1. Estudia y calcula las asíntotas de la gráfica de 𝑓.
2. Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan) de 𝑓.

Sea 𝑓 la función definida por 𝑓(𝑥)=ln⁡(𝑥)2𝑥 para 𝑥 >0 y sea 𝐹 la primitiva de 𝑓 tal que 𝐹(1) =2.

1. Calcula 𝐹′(𝑒).
2. Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de 𝐹 en el punto de abscisa 𝑥 =𝑒.

Considera el siguiente sistema de ecuaciones ⎧{ {⎨{ {⎩𝛼𝑥+𝑦+3𝑧=4,𝑥+𝑦−2𝑧=−2,−𝑥+2𝑦+(3+𝛼)𝑧=4+𝛼.

1. Determina, si existen, los valores de 𝛼 para los que el sistema dado tiene solución única.
2. Determina, si existen, los valores de 𝛼 para los que el sistema dado tiene al menos dos soluciones. Halla todas las soluciones en dichos casos.

Halla unas ecuaciones paramétricas para la recta 𝑟, que contiene al punto 𝑃(3, −5,4) y corta perpendicularmente a la recta 𝑠≡𝑥−45=𝑦−8−3=𝑧4.

Queremos fabricar una caja con base cuadrada, de tal manera que la altura de la caja más el perímetro de la base sumen 60 cm. Determina sus dimensiones para que contenga el mayor volumen posible.

Sea 𝑓 :[0,∞) →ℝ y 𝑔 :ℝ →ℝ las funciones definidas por 𝑓(𝑥) =√2𝑥 y 𝑔(𝑥) =12𝑥2.

1. Halla los puntos de corte de las gráficas de 𝑓 y 𝑔. Haz un esbozo del recinto que limitan.
2. Calcula el área de dicho recinto.

Considera las matrices 𝐴=(1211)y𝐵=(4−141).

1. Halla el determinante de una matriz 𝑋 que verifique la igualdad 𝑋2𝐴𝑋 =𝐵.
2. Determina, si existe, la matriz 𝑌 que verifica la igualdad 𝐴2𝑌𝐵−1 =𝐴.

Sea 𝑟 la recta de ecuación 𝑥+23=𝑦+14=𝑧.

1. Halla el punto de 𝑟 que equidista del origen de coordenadas y del punto 𝑃(4, −2,2).
2. Determina el punto de la recta 𝑟 más próximo al origen de coordenadas.