Matemáticas de Selectividad

Considera la función 𝑓 definida por 𝑓(𝑥)=𝑥3𝑥2−1 para 𝑥 ≠ −1,1.

1. Estudia y halla las asíntotas de la gráfica de 𝑓.
2. Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de 𝑓.

Determina la única función derivable 𝑓 :ℝ →ℝ que cumple que 𝑓(0) =1, 𝑓′(0) =1 y 𝑓″(𝑥) =𝑒𝑥(𝑥 +2).

Considera 𝐴=(211101),𝐵=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝10−1𝑚11⎞⎟ ⎟ ⎟⎠,𝑋=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝𝑥𝑦𝑧⎞⎟ ⎟ ⎟⎠y𝐶=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝2−23⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

1. Determina los valores de 𝑚 para los que 𝐴𝐵 no tiene inversa.
2. Determina los valores de 𝑚 para los que 𝐵𝐴 no tiene inversa.
3. Para 𝑚 =0, resuelve, si es posible, el sistema dado por 𝐵𝐴𝑋 =𝐶 y halla una solución en la que 𝑥 +𝑦 +𝑧 =0.

Considera los puntos 𝐴(𝑡,2, −1), 𝐵(0,1,1), 𝐶( −1,0,2) y 𝐷(2,3, −𝑡 −1).

1. Calcula el valor o valores de 𝑡 para que el volumen del tetraedro de vértices 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 sea 5 unidades cúbicas.
2. Para 𝑡 =0, calcula la distancia del punto 𝐴 a la recta determinada por los puntos 𝐵 y 𝐶.

Se sabe que la función 𝑓 :ℝ →ℝ dada por 𝑓(𝑥) =𝑎𝑥3 +𝑏𝑥2 +𝑐𝑥 +𝑑 tiene un punto crítico en 𝑥 =0, que su gráfica pasa por (0,3) y que la recta 𝑦 = −2𝑥 +2 es tangente a dicha gráfica en el punto de abscisa 𝑥 =1. Calcula 𝑎, 𝑏, 𝑐 y 𝑑.

Calcula el valor de 𝑎 >0 para que el área comprendida entre la parábola 𝑦 =3𝑥2 −2𝑎𝑥 y el eje de abscisas sea 4 unidades cuadradas.

Considera las matrices 𝐴=(1112)y𝐵=(2120).

1. Sabiendo que una matriz 𝑋 verifica que 𝑋3𝐴𝑋 =𝐵2, halla los posibles valores de su determinante.
2. Determina, si existe, una matriz 𝑌 que verifique 𝐴2𝑌𝐵−1 =𝐴.

Considera el punto 𝐴(0,1, −2) y los planos 𝜋1 ≡2𝑥 −𝑦 −𝑧 +5 =0 y 𝜋2 ≡𝑥 +5𝑦 −6𝑧 −4 =0.

1. Halla el punto simétrico de 𝐴 respecto de 𝜋1.
2. Determina la recta que pasa por 𝐴 y es paralela a 𝜋1 y 𝜋2.