Matemáticas de Selectividad

Halla las dimensiones del rectángulo de área máxima inscrito en un triángulo isósceles de 6 metros de base (el lado desigual) y 4 metros de alto.

Sean 𝑓 y 𝑔 las funciones definidas por 𝑓(𝑥) =2 −𝑥 y 𝑔(𝑥)=2𝑥+1 para 𝑥 ≠ −1.

1. Calcula los puntos de corte entre las gráficas de 𝑓 y 𝑔.
2. Esboza las gráficas de 𝑓 y 𝑔 sobre los mismos ejes.
3. Halla el área del recinto limitado por las gráficas de 𝑓 y 𝑔.

Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales: ⎧{ {⎨{ {⎩𝑥+2𝑦+𝑧=0,𝑥−𝑦+𝑚𝑧=𝑚−2,𝑚𝑥+𝑦+3𝑧=𝑚−2.

1. Discute el sistema según los valores del parámetro 𝑚.
2. Resuélvelo, si es posible, para 𝑚 =2.

Determina el punto de la recta 𝑟≡𝑥−13=𝑦2=𝑧+1 que equidista de los planos 𝜋1≡𝑥−𝑦+3𝑧+2=0y𝜋2≡⎧{ {⎨{ {⎩𝑥=−4+𝜆−3𝜇,𝑦=1+𝜆,𝑧=𝜇.

Sea 𝑓 la función definida por 𝑓(𝑥) =𝑥𝑒1𝑥 para 𝑥 ≥ −1, 𝑥 ≠0.

1. Calcula los límites laterales de 𝑓 en 𝑥 =0.
2. Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de 𝑓.

Calcula ∫42𝑒𝑥1+√𝑒𝑥𝑑𝑥. Sugerencia: se puede hacer el cambio de variable 𝑡 =√𝑒𝑥.

Sea 𝑀 una matriz cuadrada de orden 3 tal que su determinante es det(𝑀) =2. Calcula:

1. El rango de 𝑀3.
2. El determinante de 2𝑀𝑡.
3. El determinante de (𝑀−1)2.
4. El determinante de 𝑁, donde 𝑁 es la matriz resultante de intercambiar la primera y la segunda filas de 𝑀.

Considera los puntos 𝐴(0,5,3), 𝐵( −1,4,3), 𝐶(1,2,1) y 𝐷(2,3,1).

1. Comprueba que los cuatro puntos son coplanarios y que 𝐴𝐵𝐶𝐷 es un rectángulo.
2. Calcula el área de dicho rectángulo.