Matemáticas de Selectividad

Se quiere construir un depósito abierto de base cuadrada y paredes verticales con capacidad para 13,5 metros cúbicos. Para ello se dispone de una chapa de acero con grosor uniforme. Calcula las dimensiones del depósito para que el gasto en chapa sea el mínimo posible.

Calcula ∫−𝑥2𝑥2+𝑥−2𝑑𝑥.

Considera el siguiente sistema de ecuaciones ⎧{ {⎨{ {⎩𝜆𝑥+𝑦−𝑧=−1,𝜆𝑥+𝜆𝑧=𝜆,𝑥+𝑦−𝜆𝑧=0.

1. Discute el sistema según los valores de 𝜆.
2. Resuelve el sistema para 𝜆 =0.

Sean los puntos 𝐴(0,1,1), 𝐵(2,1,3), 𝐶( −1,2,0) y 𝐷(2,1,𝑚).

1. Calcula 𝑚 para que 𝐴, 𝐵, 𝐶 y 𝐷 estén en un mismo plano.
2. Determina la ecuación del plano respecto del cual los puntos 𝐴 y 𝐵 son simétricos.
3. Calcula el área del triángulo de vértices 𝐴, 𝐵 y 𝐶.

Sabiendo que lím𝑥→0⁡𝑎𝑥2+𝑏𝑥+1−cos⁡(𝑥)sen⁡(𝑥2) es finito e igual a uno, calcula los valores de 𝑎 y 𝑏.

Determina la función 𝑓 :(0,∞) →ℝ sabiendo que 𝑓″(𝑥) =ln⁡(𝑥) y que su gráfica tiene tangente horizontal en el punto 𝑃(1,2).

Considera las matrices 𝐴=(−122𝑚)y𝐵=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝120−2𝑚032𝑚⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

1. Encuentra el valor, o los valores, de 𝑚 para los que 𝐴 y 𝐵 tienen el mismo rango.
2. Determina, si existen, los valores de 𝑚 para los que 𝐴 y 𝐵 tienen el mismo determinante.

Sea el plano 𝜋 ≡2𝑥 +𝑦 −𝑧 +8 =0.

1. Calcula el punto 𝑃′, simétrico del punto 𝑃(2, −1,5) respecto del plano 𝜋.
2. Calcula la recta 𝑟′, simétrica de la recta 𝑟≡𝑥−2−2=𝑦+13=𝑧−51 respecto del plano 𝜋.