Matemáticas de Selectividad

Sabiendo que lím𝑥→0⁡cos⁡(3𝑥)−𝑒𝑥+𝑎𝑥𝑥sen⁡(𝑥) es finito, calcula 𝑎 y el valor del límite.

Calcula ∫10𝑥22𝑥2−2𝑥−4𝑑𝑥.

Considera el siguiente sistema de ecuaciones: ⎧{ {⎨{ {⎩𝑥−𝑦+𝑚𝑧=0,𝑚𝑥+2𝑦+𝑧=0,−𝑥+𝑦+2𝑚𝑧=0.

1. Halla los valores del parámetro 𝑚 para los que el sistema tiene una única solución.
2. Halla los valores del parámetro 𝑚 para los que el sistema tiene alguna solución distinta de la solución nula.
3. Resuelve el sistema para 𝑚 = −2.

Considera los puntos 𝐴(1,1,2) y 𝐵(1, −1, −2) y la recta 𝑟 dada por ⎧{ {⎨{ {⎩𝑥=1+2𝑡,𝑦=𝑡,𝑧=1.

1. Halla la ecuación general del plano que contiene a 𝑟 y es paralelo a la recta que pasa por 𝐴 y por 𝐵.
2. Halla el punto de la recta 𝑟 que está a la misma distancia de 𝐴 y de 𝐵.

De todos los números reales positivos, determina el que sumado con su inverso da suma mínima.

Calcula ∫𝜋/40𝑥cos2⁡(𝑥)𝑑𝑥. (Sugerencia: integración por partes).

Sabiendo que el determinante de la matriz 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝𝑥𝑦𝑧101123⎞⎟ ⎟ ⎟⎠ es 2, calcula los siguientes determinantes indicando, en cada caso, las propiedades que utilices.

1. det(3𝐴).
2. det(𝐴−1).
3. ∣3013𝑥2𝑦𝑧343∣.
4. ∣123𝑥+2𝑦+4𝑧+6−10−1∣.

Sea 𝑟 la recta que pasa por los puntos 𝐴(1,0, −1) y 𝐵(2, −1,3).

1. Calcula la distancia del origen de coordenadas a la recta 𝑟.
2. Halla la ecuación de la recta que corta perpendicularmente a 𝑟 y pasa por el origen de coordenadas.