Matemáticas de Selectividad

Sabiendo que lím𝑥→0⁡𝑥cos⁡(𝑥)+𝑏sen⁡(𝑥)𝑥3 es finito, calcula 𝑏 y el valor del límite.

Sean 𝑓 :ℝ →ℝ y 𝑔 :ℝ →ℝ las funciones definidas mediante 𝑓(𝑥)=|𝑥(𝑥−2)|y𝑔(𝑥)=𝑥+4.

1. Esboza las gráficas de 𝑓 y 𝑔 sobre los mismos ejes. Calcula los puntos de corte entre ambas gráficas.
2. Calcula el área del recinto limitado por las gráficas de 𝑓 y 𝑔.

Sea 𝑀=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝10−10𝑚+1011𝑚−1⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

1. Determina los valores de 𝑚 para los que los vectores fila de 𝑀 son linealmente independientes.
2. Estudia el rango de 𝑀 según los valores de 𝑚.
3. Para 𝑚 =1, calcula la inversa de 𝑀.

Sea 𝑟 la recta que pasa por el punto (1,0,0) y tiene como vector dirección (𝑎,2𝑎,1) y sea 𝑠 la recta dada por {−2𝑥+𝑦=−2,−𝑎𝑥+𝑧=0.

1. Calcula los valores de 𝑎 para los que 𝑟 y 𝑠 son paralelas.
2. Calcula, para 𝑎 =1, la distancia entre 𝑟 y 𝑠.

Sea 𝑓 :( −∞,1) →ℝ la función definida por 𝑓(𝑥)={𝑥+2𝑒−𝑥,si 𝑥≤0,𝑎√𝑏−𝑥,si 0<𝑥<1.

1. Determina 𝑎 y 𝑏 sabiendo que 𝑓 es derivable en todo su dominio.
2. Halla la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de 𝑓 en el punto de abscisa 𝑥 =0.

Sea 𝑔 :ℝ →ℝ la función definida por 𝑔(𝑥) =ln⁡(𝑥2 +1). Calcula la primitiva de 𝑔 cuya gráfica pasa por el origen de coordenadas.

Sea 𝐴=(111−1).

1. Comprueba que 𝐴2 =2𝐼 y calcula 𝐴−1.
2. Calcula 𝐴2013 y su inversa.

Considera los puntos 𝑃(2,3,1) y 𝑄(0,1,1).

1. Halla la ecuación del plano 𝜋 respecto del cual 𝑃 y 𝑄 son simétricos.
2. Calcula la distancia de 𝑃 a 𝜋.