Matemáticas de Selectividad

Calcula la base y la altura del triángulo isósceles de perímetro 8 y de área máxima.

Considera las funciones 𝑓,𝑔 :ℝ →ℝ definidas por: 𝑓(𝑥)=6𝑥−𝑥2,𝑔(𝑥)=𝑥2−2𝑥.

1. Esboza sus gráficas en unos mismos ejes coordenados y calcula sus puntos de corte.
2. Calcula el área del recinto limitado por las gráficas de 𝑓 y 𝑔.

Dadas las matrices: 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝𝛼1−11𝛼−1−1−1𝛼⎞⎟ ⎟ ⎟⎠,𝐵=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝011⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

1. Calcula el rango de 𝐴 dependiendo de los valores de 𝛼.
2. Para 𝛼 =2, resuelve la ecuación matricial 𝐴𝑋 =𝐵.

Considera los puntos 𝐴( −1,𝑘,3), 𝐵(𝑘 +1,0,2), 𝐶(1,2,0) y 𝐷(2,0,1).

1. ¿Existe algún valor de 𝑘 para el que los vectores ⟶𝐴𝐵, ⟶𝐵𝐶 y ⟶𝐶𝐷 sean linealmente dependientes?
2. Calcula los valores de 𝑘 para los que los puntos 𝐴,𝐵,𝐶 y 𝐷 forman un tetraedro de volumen 1.

Sea 𝑓 la función definida por 𝑓(𝑥)=3𝑥4+1𝑥3 para 𝑥 ≠0.

1. Estudia las asíntotas de la gráfica de la función.
2. Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, y los extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

Sean 𝑓,𝑔 :ℝ →ℝ las funciones definidas por 𝑓(𝑥)=−14𝑥2+4y𝑔(𝑥)=𝑥2−1.

1. Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de 𝑓 en el punto de abscisa 𝑥 = −2.
2. Esboza el recinto limitado por las gráficas de ambas funciones y la recta 𝑦 =𝑥 +5. Calcula el área de este recinto.

Sean las matrices 𝐴=(𝛼1−𝛼3),𝐵=(131−142).

1. Calcula los valores de 𝛼 para los que la matriz inversa de 𝐴 es 112𝐴.
2. Para 𝛼 = −3, determina la matriz 𝑋 que verifica la ecuación 𝐴𝑡𝑋 =𝐵.

Dados el plano 𝜋 de ecuación 𝑥 +2𝑦 −𝑧 =0 y la recta 𝑟 de ecuaciones {3𝑥−𝑦=5,𝑥+𝑦−4𝑧=−13..

1. Halla el punto de intersección del plano 𝜋 y la recta 𝑟.
2. Halla el punto simétrico del punto 𝑄(1, −2,3) respecto del plano 𝜋.