Matemáticas de Selectividad

Sabiendo que lím𝑥→0⁡(1𝑒𝑥−1−𝑚2𝑥) es finito, calcula 𝑚 y el valor del límite.

Sea 𝑓 :ℝ →ℝ la función definida por 𝑓(𝑥) =𝑥4. Encuentra la recta horizontal que corta a la gráfica de 𝑓 formando con ella un recinto con área 85.

Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales, ⎧{ {⎨{ {⎩2𝑥−4𝑦+2𝑧=1,5𝑥−11𝑦+9𝑧=𝜆,𝑥−3𝑦+5𝑧=2.

1. Discute el sistema según los valores de 𝜆.
2. Resuélvelo, si es posible, para 𝜆 =4.

Considera el punto 𝐴(1, −1,1) y la recta 𝑟 dada por ⎧{ {⎨{ {⎩𝑥=1+2𝜆,𝑦=1−𝜆,𝑧=1.

1. Calcula las coordenadas del punto simétrico de 𝐴 respecto a 𝑟.
2. Determina la ecuación del plano que contiene a 𝑟 y pasa por 𝐴.

Sea 𝑓 :ℝ →ℝ la función definida por 𝑓(𝑥) =𝑥2𝑒−𝑥2.

1. Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de 𝑓.
2. Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de 𝑓 y calcula sus extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).
3. Esboza la gráfica de 𝑓.

Calcula ∫𝑥1+√𝑥𝑑𝑥. (Sugerencia: 𝑡 =√𝑥).

Considera 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1−10⎞⎟ ⎟ ⎟⎠,𝐵=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝111⎞⎟ ⎟ ⎟⎠y𝐶=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝111−1−1−1000⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

1. Calcula el rango de 𝐴𝐵𝑡 +𝜆𝐼 según los valores de 𝜆 (𝐼 es la matriz identidad de orden 3).
2. Calcula la matriz 𝑋 que verifica 𝐶𝑋 −𝑋 =2𝐼.

Calcula la distancia entre las rectas dadas por las siguientes ecuaciones 𝑥=𝑦=𝑧y⎧{ {⎨{ {⎩𝑥=1+𝜇,𝑦=3+𝜇,𝑧=−𝜇.