Matemáticas de Selectividad

Calcula lím𝑥→0⁡tg⁡(𝑥)−sen⁡(𝑥)𝑥−sen⁡(𝑥).

Sea 𝑓 :ℝ →ℝ la función definida por 𝑓(𝑥) =𝑥3 −3𝑥2 −𝑥 +3.

1. Halla, si existe, el punto de la gráfica de 𝑓 en el que la recta tangente es 𝑦 =3 −𝑥.
2. Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de 𝑓 y la recta del apartado anterior.

Considera el siguiente sistema de ecuaciones con incógnitas 𝑥, 𝑦, 𝑧. ⎧{ {⎨{ {⎩𝜆𝑦+(𝜆+1)𝑧=𝜆,𝜆𝑥+𝑧=𝜆,𝑥+𝜆𝑧=𝜆.

1. Discute el sistema según los valores del parámetro 𝜆.
2. Resuelve el sistema para 𝜆 =1.
3. Para 𝜆 =0, si es posible, da tres soluciones distintas.

Sean 𝐴( −3,4,0), 𝐵(3,6,3) y 𝐶( −1,2,1) los vértices de un triángulo.

1. Halla la ecuación del plano 𝜋 que contiene al triángulo.
2. Halla la ecuación de la recta perpendicular a 𝜋 que pasa por el origen de coordenadas.
3. Calcula el área del triángulo 𝐴𝐵𝐶.

Considera la función 𝑓 :ℝ →ℝ definida por 𝑓(𝑥) =𝑥2𝑒−𝑥2.

1. Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de 𝑓.
2. Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).
3. Esboza la gráfica de 𝑓.

Sea 𝑓 :( −1,3) →ℝ la función definida por 𝑓(𝑥)=𝑥+9(𝑥+1)(𝑥−3). Determina la primitiva de 𝑓 cuya gráfica pasa por el punto (1,0).

Considera las matrices 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1000−210−53⎞⎟ ⎟ ⎟⎠y𝐵=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝001111100⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Halla la matriz 𝑋 que verifica 𝐴−1𝑋𝐴 =𝐵 −𝐴.

Considera el punto 𝐴(8, −1,3) y la recta 𝑟 dada por 𝑥+12=𝑦−2=𝑧−13.

1. Calcula la ecuación del plano que pasa por 𝐴 y es perpendicular a 𝑟.
2. Halla el punto simétrico de 𝐴 respecto de 𝑟.