Matemáticas de Selectividad

Sea la función 𝑓 :(0, +∞) →ℝ definida por 𝑓(𝑥) =1𝑥 +ln⁡(𝑥).

1. Halla los extremos absolutos de 𝑓 (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan) en el intervalo [1𝑒,𝑒].
2. Determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica de 𝑓 en el punto de abscisa 𝑥 =𝑒.

Sean 𝑓,𝑔 :ℝ →ℝ las funciones definidas por 𝑓(𝑥) =sen⁡(𝑥) y 𝑔(𝑥) =cos⁡(𝑥) respectivamente.

1. Realiza un esbozo de las gráficas de 𝑓 y 𝑔 en el intervalo [0,𝜋2].
2. Calcula el área total de los recintos limitados por ambas gráficas y las rectas 𝑥 =0 y 𝑥 =𝜋2.

Considera las matrices 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝120012121⎞⎟ ⎟ ⎟⎠,𝐵=(0110)y𝐶=(−120112). Determina, si existe, la matriz 𝑋 que verifica 𝐴𝑋𝐵 =𝐶𝑡.

El punto 𝑀(1, −1,0) es el centro de un paralelogramo y 𝐴(2,1, −1) y 𝐵(0, −2,3) son dos vértices consecutivos del mismo.

1. Halla la ecuación general del plano que contiene al paralelogramo.
2. Determina uno de los otros dos vértices y calcula el área de dicho paralelogramo.

Sea 𝑓 la función definida por 𝑓(𝑥)=2𝑥2(𝑥+1)(𝑥−2) para 𝑥 ≠ −1 y 𝑥 ≠2.

1. Estudia y calcula las asíntotas de la gráfica de 𝑓.
2. Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de 𝑓.
3. Calcula, si existe, algún punto de la gráfica de 𝑓 donde esta corta a la asíntota horizontal.

Sea la función 𝑓 :ℝ →ℝ definida por 𝑓(𝑥) =𝑥2cos⁡(𝑥). Determina la primitiva de 𝑓 cuya gráfica pasa por el punto (𝜋,0).

Dado el sistema de ecuaciones ⎧{ {⎨{ {⎩𝑘𝑥+2𝑦=3,−𝑥+2𝑘𝑧=−1,3𝑥−𝑦−7𝑧=𝑘+1.

1. Estudia el sistema para los distintos valores del parámetro 𝑘.
2. Resuélvelo para 𝑘 =1.

Calcula de manera razonada la distancia del eje 𝑂𝑋 a la recta 𝑟 de ecuaciones {2𝑥−3𝑦=4,2𝑥−3𝑦−𝑧=0.