Matemáticas de Selectividad

Sabiendo que lím𝑥→0⁡cos⁡(𝜋𝑥)(1+𝑎cos⁡(𝜋𝑥))sen⁡(𝑥2) es finito, calcula 𝑎 y el valor del límite.

Considera la función 𝑓 dada por 𝑓(𝑥)=√𝑥+ln⁡(𝑥)𝑥 para 𝑥 >0.

1. Halla todas las primitivas de 𝑓.
2. Halla ∫31𝑓(𝑥)𝑑𝑥.
3. Determina la primitiva de 𝑓 que toma el valor 3 para 𝑥 =1.

Considera las matrices 𝐴=(1011)y𝐵=(1201). Determina, si existe, la matriz 𝑋 que verifica 𝐴𝑋 +𝐵2 =𝐵𝑋 +𝐴2.

Considera el paralelogramo de vértices consecutivos 𝐴, 𝐵, 𝐶 y 𝐷 siendo 𝐴(1,0, −1), 𝐵(3,2,1) y 𝐶( −7,1,5).

1. Determina las coordenadas del punto 𝐷.
2. Calcula el área del paralelogramo.
3. Halla la ecuación general del plano que contiene al paralelogramo.

Se dispone de un cartón cuadrado de 50 cm de lado para construir una caja sin tapadera a partir del cartón. Para ello, se corta un cuadrado de 𝑥 cm de lado en cada una de las esquinas. Halla el valor de 𝑥 para que el volumen de la caja sea máximo y calcula dicho volumen.

Sea 𝑓 :ℝ →ℝ la función dada por 𝑓(𝑥)=2𝑥(𝑥2+1)2. Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de 𝑓, el eje de abscisas y las rectas 𝑥 =0 y 𝑥 =1.

Se considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales ⎧{ {⎨{ {⎩𝑥+𝜆𝑦+𝑧=𝜆,𝜆𝑥+𝑦+𝑧=1,𝑥+𝑦+𝜆𝑧=1.

1. Determina, si existen, los valores de 𝜆 para los que el sistema tiene infinitas soluciones.
2. Resuelve el sistema para 𝜆 = −2.

Considera el punto 𝑃(1,0, −1) y el plano 𝜋 de ecuación 2𝑥 −𝑦 +𝑧 +1 =0.

1. Halla el simétrico del punto 𝑃 respecto del plano 𝜋.
2. Determina la ecuación del plano que contiene al punto 𝑃, es perpendicular al plano 𝜋 y es paralelo a la recta {𝑥−2𝑦=1,𝑧=3.