Matemáticas de Selectividad

Se quiere vallar un campo rectangular que está junto a un camino. Si la valla del lado del camino cuesta 80 euros/metro y la de los otros lados 10 euros/metro, halla las dimensiones del campo de área máxima que puede vallarse con 28.800 euros.

Calcula ∫𝑑𝑥(𝑥−2)√𝑥+2. (Sugerencia: √𝑥+2 =𝑡).

Halla la matriz 𝑋 que verifica la igualdad 𝐴𝑋𝐴−1 +𝐵 =𝐶𝐴−1 sabiendo que 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝0−10−1−30141⎞⎟ ⎟ ⎟⎠,𝐶=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1−1200−110−1⎞⎟ ⎟ ⎟⎠y𝐵𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝11011−1−1−5−3⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

Considera el punto 𝑃( −3,1,6) y la recta 𝑟 dada por {2𝑥−𝑦−5=0,𝑦−𝑧+2=0.

1. Determina la ecuación del plano que pasa por 𝑃 y es perpendicular a 𝑟.
2. Calcula las coordenadas del punto simétrico de 𝑃 respecto de la recta 𝑟.

Determina 𝑎 y 𝑏 sabiendo que 𝑏 >0 y que la función 𝑓 :ℝ →ℝ definida como 𝑓(𝑥)=⎧{ {⎨{ {⎩𝑎cos⁡(𝑥)+2𝑥,si 𝑥<0,𝑎2ln⁡(𝑥+1)+𝑏𝑥+1,si 𝑥≥0 es derivable.

Sea 𝑔 la función definida por 𝑔(𝑥) =ln⁡(𝑥) para 𝑥 >0. Calcula el valor de 𝑎 >1 para que el área del recinto limitado por la gráfica de 𝑔, el eje de abscisas y la recta 𝑥 =𝑎 es 1.

Considera el siguiente sistema de ecuaciones ⎧{ {⎨{ {⎩𝜆𝑥+𝜆𝑦+𝜆𝑧=0,𝜆𝑥+2𝑦+2𝑧=0,𝜆𝑥+2𝑦+𝑧=0.

1. Discute el sistema según los valores de 𝜆.
2. Determina, si existen, los valores de 𝜆 para los que el sistema tiene alguna solución en la que 𝑧 ≠0.

Los puntos 𝐴(0,1,1) y 𝐵(2,1,3) son dos vértices de un triángulo. El tercer vértice es un punto de la recta 𝑟 dada por {2𝑥+𝑦=0,𝑧=0.

1. Calcula las coordenadas de los posibles puntos 𝐶 de 𝑟 para que el triángulo 𝐴𝐵𝐶 tenga un ángulo recto en el vértice 𝐴.
2. Calcula las coordenadas de los posibles puntos 𝐷 de 𝑟 para que el triángulo 𝐴𝐵𝐶 tenga un área igual a √2.