Matemáticas de Selectividad

Se quiere construir un bote de conservas cilíndrico, con tapa, de un litro de capacidad. Calcula las dimensiones del bote para que en su construcción se utilice la menor cantidad posible de hojalata.

Calcula ∫√2𝑥+12𝑥+1+√2𝑥+1𝑑𝑥. (Sugerencia: 𝑡 =√2𝑥+1).

Considera la matriz 𝐴=(𝑘1+𝑘1−𝑘0). Determina, si existen, los valores de 𝑘 en cada uno de los casos siguientes.

1. rang⁡(𝐴) =1.
2. 𝐴2 =𝐴.
3. 𝐴 tiene inversa.
4. det(𝐴) = −2.

Determina el punto de la recta 𝑟 ≡𝑥−12 =𝑦 +1 =𝑧3 que equidista de los planos 𝜋≡𝑥+𝑦+𝑧+3=0y𝜋′≡⎧{ {⎨{ {⎩𝑥=−3+𝜆,𝑦=−𝜆+𝜇,𝑧=−6−𝜇.

Sea 𝑓 :ℝ →ℝ la función definida por 𝑓(𝑥) =|𝑥2 −4|.

1. Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de 𝑓 y calcula sus extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).
2. Calcula la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de 𝑓 en el punto de abscisa 𝑥 = −1.

Determina la función 𝑓 :ℝ →ℝ tal que 𝑓″(𝑥)=−2sen⁡(2𝑥),𝑓(0)=1y𝑓(𝜋2)=0.

Considera la matriz 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝10𝜆+1𝜆1−1001⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

1. Determina, si existen, los valores de 𝜆 para los que 𝐴−1 =2𝐼 −𝐴 (siendo 𝐼 la matriz identidad de orden 3).
2. Determina, si existen, los valores de 𝜆 para los que la matriz 𝐴 +𝐴𝑡 no tiene inversa.

Considera el plano 𝜋 de ecuación 6𝑥 −𝑚𝑦 +2𝑧 =1 y la recta 𝑟 dada por 𝑥−1−3=𝑦+12=𝑧+2−1.

1. Calcula 𝑚 en el caso en que la recta 𝑟 es perpendicular al plano 𝜋.
2. ¿Existe algún valor de 𝑚 para el que la recta 𝑟 esté contenida en el plano 𝜋?