Matemáticas de Selectividad

Se desea construir un depósito cilíndrico cerrado de área total igual a 54 m². Determina el radio de la base y la altura del cilindro para que este tenga volumen máximo.

Sea 𝑓 :( −1, +∞) →ℝ la función definida por 𝑓(𝑥) =ln⁡(𝑥 +1).

1. Esboza el recinto limitado por la gráfica de 𝑓, el eje 𝑂𝑌 y la recta 𝑦 =1. Calcula los puntos de corte de las gráficas.
2. Halla el área del recinto anterior.

Dado el sistema de ecuaciones lineales: ⎧{ {⎨{ {⎩−𝜆𝑥+𝑦+𝑧=1,𝑥+𝜆𝑦+𝑧=2,𝜆𝑥+𝑦+𝑧=1.

1. Clasifica el sistema según los valores del parámetro 𝜆.
2. Resuelve el sistema para 𝜆 =0.

Determina el punto simétrico del punto 𝐴( −3,1,6) respecto de la recta 𝑟 de ecuaciones: 𝑥−1=𝑦+32=𝑧+12.

Sea 𝑓 :[1, +∞) →ℝ la función definida por 𝑓(𝑥) =√𝑥−1. Determina el punto 𝑃 de la gráfica de 𝑓 que se encuentra a menor distancia del punto 𝐴(2,0). ¿Cuál es esa distancia?

Halla: ∫𝑒𝑥(𝑒2𝑥−1)(𝑒𝑥+1)𝑑𝑥. Sugerencia: efectúa el cambio de variable 𝑡 =𝑒𝑥.

Dada la matriz 𝐴=(𝜆+101−1).

1. Determina los valores de 𝜆 para los que la matriz 𝐴2 +3𝐴 no tiene inversa.
2. Para 𝜆 =0, halla la matriz 𝑋 que verifica la ecuación 𝐴𝑋 +𝐴 =2𝐼.

Considera los puntos 𝐴(1,0, −1) y 𝐵(2,1,0), y la recta 𝑟 dada por: {𝑥+𝑦=1,𝑥+𝑧=2.

1. Determina la ecuación del plano que es paralelo a 𝑟 y pasa por 𝐴 y 𝐵.
2. Determina si la recta que pasa por los puntos 𝑃(1,2,1) y 𝑄(3,4,1) está contenida en dicho plano.