Matemáticas de Selectividad

Sea 𝑓 la función definida por 𝑓(𝑥) =12𝑥 +ln⁡(𝑥) para 𝑥 >0.

1. Determina el punto de la gráfica de 𝑓 en el que la pendiente de la recta tangente es máxima.
2. Halla la ecuación de la recta normal a la gráfica de 𝑓 en el punto de abscisa 𝑥 =1.

Calcula ∫1−1ln⁡(4−𝑥)𝑑𝑥.

Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales: ⎧{ {⎨{ {⎩𝑥+(𝑚+1)𝑦+2𝑧=−1,𝑚𝑥+𝑦+𝑧=𝑚,(1−𝑚)𝑥+2𝑦+𝑧=−𝑚−1.

1. Discute el sistema según los valores del parámetro 𝑚.
2. Resuélvelo para 𝑚 =2. Para dicho valor de 𝑚, calcula, si es posible, una solución en la que 𝑧 =2.

Considera los vectores ⃗𝑢 =(1, −1,0), ⃗𝑣 =(0,1,2) y ⃗𝑤 =(1 +𝛼,2𝛼,2 −3𝛼). Halla los valores de 𝛼 en cada uno de los siguientes casos.

1. ⃗𝑢, ⃗𝑣 y ⃗𝑤 están en el mismo plano.
2. ⃗𝑤 es perpendicular a ⃗𝑢 y ⃗𝑣.
3. El volumen del tetraedro que tiene por aristas a los vectores ⃗𝑢, ⃗𝑣 y ⃗𝑤 es 16.

Sea 𝑓 :ℝ →ℝ la función definida por 𝑓(𝑥) =𝑥3 +𝑏𝑥2 +𝑐𝑥 +𝑑. Halla 𝑏, 𝑐 y 𝑑 sabiendo que 𝑓 tiene un máximo relativo en 𝑥 = −1 y que lím𝑥→1⁡𝑓(𝑥)𝑥−1=4.

Sea 𝑓 :ℝ →ℝ la función definida por 𝑓(𝑥) = −𝑥2 +2𝑥 +3.

1. Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de 𝑓 en el punto de abscisa 𝑥 =2.
2. Esboza el recinto limitado por la gráfica de 𝑓, la recta 2𝑥 +𝑦 −7 =0 y el eje 𝑂𝑋, calculando los puntos de corte.
3. Halla el área del recinto descrito en el apartado anterior.

Considera las matrices 𝐴=(1+𝑚111−𝑚)y𝐵=(1−110).

1. ¿Para qué valores de 𝑚 se verifica que 𝐴2 =2𝐴 +𝐼?
2. Para 𝑚 =1, calcula 𝐴−1 y la matriz 𝑋 que satisface 𝐴𝑋 −𝐵 =𝐴𝐵.

Considera el punto 𝑃(2, −2,0) y la recta 𝑟 dada por {𝑥+𝑧−2=0,𝑦+𝑧−1=0.

1. Halla la ecuación del plano que contiene a 𝑃 y es perpendicular a 𝑟.
2. Calcula la distancia de 𝑃 a 𝑟.