Matemáticas de Selectividad

Se considera la función derivable 𝑓 :ℝ →ℝ definida por 𝑓(𝑥)=⎧{ { {⎨{ { {⎩1+𝑎𝑥−2,si 𝑥<1,𝑎+𝑏√𝑥,si 𝑥≥1. Calcula los valores de 𝑎 y 𝑏.

Sea la función 𝑓 :ℝ →ℝ definida por 𝑓(𝑥) =(1 −𝑥2)𝑒−𝑥. Determina la primitiva de 𝑓 cuya gráfica pasa por el punto ( −1,0).

Un estudiante ha gastado 57 euros en una papelería por la compra de un libro, una calculadora y un estuche. Sabemos que el libro cuesta el doble que el total de la calculadora y el estuche juntos.

1. ¿Es posible determinar de forma única el precio del libro? ¿Y el de la calculadora? Razona las respuestas.
2. Si el precio del libro, la calculadora y el estuche hubieran sufrido un 50%, un 20% y un 25% de descuento respectivamente, el estudiante habría pagado un total de 34 euros. Calcula el precio de cada artículo.

Determina el punto 𝑃 de la recta 𝑟≡𝑥+32=𝑦+53=𝑧+43 que equidista del origen de coordenadas y del punto 𝐴(3,2,1).

De entre todos los triángulos rectángulos de hipotenusa 10 unidades, determina las dimensiones del de área máxima.

Sean las funciones 𝑓 :ℝ →ℝ y 𝑔 :[0, +∞) →ℝ definidas por 𝑓(𝑥) =𝑥24 y 𝑔(𝑥) =2√𝑥 respectivamente.

1. Halla los puntos de corte de las gráficas de 𝑓 y 𝑔. Realiza un esbozo del recinto que limitan.
2. Calcula el área de dicho recinto.

Considera el sistema de ecuaciones ⎧{ {⎨{ {⎩𝑥+𝑦+𝑘𝑧=1,2𝑥+𝑘𝑦=1,𝑦+2𝑧=𝑘.

1. Clasifica el sistema según los valores del parámetro 𝑘.
2. Resuélvelo para 𝑘 =1.
3. Resuélvelo para 𝑘 = −1.

Considera el punto 𝑃(1,0,2) y la recta 𝑟 dada por las ecuaciones {2𝑥−𝑦−4=0,𝑦+2𝑧−8=0.

1. Calcula la ecuación del plano que pasa por 𝑃 y es perpendicular a 𝑟.
2. Calcula el punto simétrico de 𝑃 respecto de la recta 𝑟.