Matemáticas de Selectividad

Queremos hacer junto a la carretera un cercado rectangular para unos caballos en una zona llana. Cada metro del lado del cercado que está junto a la carretera nos cuesta 100 euros, mientras que para el resto del cercado nos cuesta 10 euros el metro. ¿Cuáles son las dimensiones del prado de área máxima que podemos cercar con 3.000 euros?

Calcula un número positivo 𝑎, menor que 2, para que el recinto limitado por la parábola de ecuación 𝑦 =12𝑥2 y las dos rectas horizontales de ecuaciones 𝑦 =𝑎 e 𝑦 =2 tenga un área de 143 unidades cuadradas.

Considera el sistema de ecuaciones ⎧{ {⎨{ {⎩2𝑥−2𝑦+4𝑧=4,2𝑥+𝑧=𝑎,−3𝑥−3𝑦+3𝑧=−3.

1. Discútelo según los valores del parámetro 𝑎.
2. Resuélvelo cuando sea posible.

Dada la recta 𝑟 definida por 𝑥−13=𝑦+12=−𝑧+3 y la recta 𝑠 definida por {𝑥=1,2𝑦−𝑧=−2.

1. Halla la ecuación del plano que pasa por el origen y contiene a 𝑟.
2. Halla la ecuación del plano que contiene a 𝑠 y es paralelo a 𝑟.

En una empresa los ingresos (en euros) dependen de la edad. Si la edad, 𝑥, es de 18 a 50 años, los ingresos vienen dados por la fórmula −𝑥2 +70𝑥, mientras que para edades iguales o superiores a 50 anos los ingresos estan determinados por la expresión 400𝑥𝑥−30. Calcula cuál es el máximo de los ingresos y a qué edad se alcanza.

Dada la función 𝑓 :ℝ →ℝ definida por 𝑓(𝑥) = −2𝑥2 +3𝑥 −1.

1. Prueba que las rectas 𝑦 = −𝑥 +1 e 𝑦 =3𝑥 −1 son tangentes a su gráfica.
2. Halla el área del recinto limitado por la gráfica de 𝑓 y las rectas mencionadas en el apartado anterior.

Dada la matriz 𝐴=(−112−1).

1. Demuestra que 𝐴2 +2𝐴 =𝐼 y que 𝐴−1 =𝐴 +2𝐼.
2. Calcula la matriz 𝑋 que verifica la ecuación 𝐴2 +𝑋𝐴 +5𝐴 =4𝐼.

Dada la recta 𝑟 definida por 𝑥+72=𝑦−7−1=𝑧 y la recta 𝑠 definida por ⎧{ {⎨{ {⎩𝑥=2,𝑦=−5,𝑧=𝜆.

1. Halla la ecuación de la recta que corta perpendicularmente a ambas.
2. Calcula la distancia entre 𝑟 y 𝑠.