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📋 Junio de 2026

Ejercicio 1

Una ventana tiene forma de rectángulo y está coronada por un semicírculo. Sabiendo que el perímetro de la ventana mide 8 metros, halla las dimensiones de la ventana que permitan la mayor entrada de luz. Figura

Ejercicio 2

Considera los puntos 𝐴(1,2,0), 𝐵(2,𝑚,1), 𝐶(3,4,2) y 𝐷(1, −1,𝑚).

  1. Halla los valores de 𝑚 para los cuales los puntos anteriores son coplanarios.
  2. Para 𝑚 =1, calcula el área del triángulo de vértices 𝐴, 𝐵, 𝐶 y el volumen del tetraedro de vértices 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷.

Resolución

En primer lugar, calculamos los vectores ⃗𝐴𝐵 =(1,𝑚 −2,1), ⃗𝐴𝐶 =(2,2,2) y ⃗𝐴𝐷 =(0, −3,𝑚).

  1. Los puntos 𝐴, 𝐵, 𝐶 y 𝐷 son coplanarios si el producto mixto de los vectores ⃗𝐴𝐵, ⃗𝐴𝐶 y ⃗𝐴𝐷 es cero. Calculamos en primer lugar el producto mixto. [⃗𝐴𝐵,⃗𝐴𝐶,⃗𝐴𝐷]=∣1𝑚−212220−3𝑚∣=2𝑚−6+6−2𝑚(𝑚−2)=2𝑚−2𝑚2+4=−2𝑚2+6𝑚. Para que sean coplanarios, ha de verificarse que: [⃗𝐴𝐵,⃗𝐴𝐶,⃗𝐴𝐷]=0⇔−2𝑚2+6𝑚=0⇔𝑚2−3𝑚=0⇔𝑚(𝑚−3)=0⇔{𝑚=0,𝑚−3=0⇔𝑚=3.
  2. Para 𝑚 =1, ⃗𝐴𝐵 =(1, −1,1) y ⃗𝐴𝐷 =(0, −3,1).
    • El área del triángulo de vértices 𝐴, 𝐵 y 𝐶 viene dada por: 𝑆=|⃗𝐴𝐵×⃗𝐴𝐶|2. Calculamos en primer lugar el producto vectorial. ⃗𝐴𝐵×⃗𝐴𝐶=∣⃗𝑥⃗𝑦⃗𝑧1−11222∣=(−4,0,4). Por tanto, el área del triángulo es: 𝑆=|(−4,0,4)|2=√(−4)2+422=4√22=2√2𝑢2.
    • El volumen del tetraedro de vértices 𝐴, 𝐵, 𝐶 y 𝐷 viene dado por: 𝑉=|[⃗𝐴𝐵,⃗𝐴𝐶,⃗𝐴𝐷]|6. Para 𝑚 =1, el producto mixto es: [⃗𝐴𝐵,⃗𝐴𝐶,⃗𝐴𝐷]=4. Por tanto, el volumen del tetraedro es: 𝑉=|4|6=46=23𝑢3.

Ejercicio 3

Considera el sistema ⎧{ {⎨{ {⎩3𝑥−𝑦=𝑎2,(1−𝑎)𝑦+2𝑧=0,4𝑦+(3−𝑎)𝑧=𝑎−5.

  1. Discútelo según los valores de 𝑎.
  2. Para 𝑎 =0 resuelve el sistema, si es posible.

Ejercicio 4

Considera la matriz 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝𝛼𝛽12𝛼𝛽34𝛼⎞⎟ ⎟ ⎟⎠ que cumple |𝐴| = −2.

  1. Calcula ∣−3−4−𝛼𝛼−2𝛽−𝛼1−𝛽84𝛼4𝛽∣.
  2. Calcula |𝐴−1(𝐴𝑡)2𝐴|.

Resolución
  1. Calculamos el determinante. ∣−3−4−𝛼𝛼−2𝛽−𝛼1−𝛽84𝛼4𝛽∣=−4⋅∣34𝛼𝛼−2𝛽−𝛼1−𝛽2𝛼𝛽∣=−4⋅⎛⎜ ⎜ ⎜⎝∣34𝛼𝛼𝛽12𝛼𝛽∣−∣34𝛼2𝛼𝛽2𝛼𝛽∣⎞⎟ ⎟ ⎟⎠==−4⋅∣34𝛼𝛼𝛽12𝛼𝛽∣=−4⋅∣𝛼𝛽12𝛼𝛽34𝛼∣=−4⋅(−2)=8.
  2. Calculamos el determinante. |𝐴−1(𝐴𝑡)2𝐴|=|𝐴|−1⋅|𝐴|2⋅|𝐴|=(−2)−1⋅(−2)2⋅(−2)=4.

Ejercicio 5

Dada la función 𝑓 :ℝ →ℝ definida por 𝑓(𝑥)=8𝑒𝑥−4𝑒2𝑥1+𝑒𝑥, halla la primitiva de 𝑓 cuya gráfica tiene por tangente a la recta 𝑦 =2𝑥 +12ln⁡(2) en el punto de abscisa 𝑥 =0. (Sugerencia: puedes hacer el cambio 𝑒𝑥 =𝑡).

Ejercicio 6

Disponemos de dos bolsas con monedas de oro y monedas de plata. En la primera hay 2 monedas de oro y 3 monedas de plata. En la segunda hay 6 monedas de oro y 3 de plata. Sin mirar, extraemos una moneda al azar de la primera bolsa y la depositamos en la segunda bolsa. Luego extraemos una moneda de la segunda bolsa.

  1. Calcula la probabilidad de que la segunda moneda sea de oro, sabiendo que la moneda que se extrajo de la primera bolsa era de plata.
  2. Calcula la probabilidad de que la moneda que se extrajo de la primera bolsa fuera de plata, sabiendo que la segunda moneda es de oro.