Matemáticas de Selectividad

La velocidad de crecimiento de la población de peces en un lago al cabo del tiempo, 𝑡 en años, viene dada por 𝑃′(𝑡)=20𝑡𝑒−𝑡10, siendo 𝑃(𝑡) la población de peces. Sabiendo que la población inicial es de 1000 peces, calcula cuántos tendrá el lago transcurridos 10 años.

Se sabe que la función 𝑓 :ℝ →ℝ definida por 𝑓(𝑥) =𝑥3 +𝑎𝑥2 +𝑏𝑥 +𝑐, verifica que: 𝑓(1) =0, 𝑥 =1 es un punto crítico de la función y la recta tangente a su gráfica en 𝑥 =—1, es paralela a la recta de ecuación 𝑦 +3𝑥 =0. Determina 𝑎, 𝑏 y 𝑐.

Una familia va al mercado semanalmente y compra tres tipos de alimentos: verdura, carne y pescado. El año pasado, en el que gastó 115€ semanales, observó que pagaba el doble en el puesto del pescado que en el de la verdura. En 2026 se ha notado un incremento de precios pues ahora gasta 19€ más que el año pasado por la misma compra, comprobando que la verdura ha subido un 12%, la carne un 15% y el pescado un 20%. Calcula el precio que la familia paga semanalmente en 2026, por cada tipo de alimento.

Considera las matrices 𝐴=(2234)y𝐵=(3122).

1. Halla razonadamente el determinante de una matriz 𝑋 que verifica 𝐴3𝑋𝐵𝑡 =5𝐵2𝐴−1.
2. Determina, si existe, una matriz 𝑌 que verifica 𝐴3𝑌𝐵−1 =𝐴2.

Considera la recta 𝑟≡⎧{ {⎨{ {⎩𝑥=−2𝜆,𝑦=−1+2𝜆,𝑧=3+2𝜆 y el plano 𝜋 ≡𝑥 −2𝑦 +𝑧 −3 =0.

1. Determina la ecuación de la recta que corta perpendicularmente a 𝑟 y que está contenida en 𝜋.
2. Halla el punto simétrico de 𝑃(1,1,1) respecto de 𝜋.

Tres máquinas A, B y C, producen el 45%, 30% y 25%, respectivamente, del total de los coches que se producen en una fábrica. Los porcentajes de producción defectuosa de estas máquinas son del 3%, 4% y 5%, respectivamente.

1. Seleccionamos un coche al azar. Calcula la probabilidad de que sea defectuoso.
2. Tomamos, al azar, un coche y resulta ser defectuoso. ¿Qué máquina tiene la mayor probabilidad de haber producido dicho coche?